Makalah Getaran dan Gelombang (Osilator Berpasangan)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1    Latar Belakang

Sejauh ini osilator harmonik sederhana kita anggap seperti massa pada pegas atau pendulum sederhana yang hanya memiliki satu cara berosilasi. Ini ditandai oleh frekuensi alami tunggal osilasi. Dalam bab ini kita mempertimbangkan sistem terdiri dari dua (atau lebih) osilator yang berpasangan bersama-sama dalam beberapa cara dan yang memiliki lebih dari satu frekuensi osilasi. Kita akan melihat bahwa pasangan ini menghasilkan efek fisik baru dan penting. Masing-masing dari frekuensi berhubungan dengan cara yang berbeda di mana sistem dapat berosilasi. Ini cara yang berbeda disebut mode normal dan frekuensi berhubungan disebut frekuensi normal. Mode normal dari sebuah sistem dicirikan oleh fakta bahwa semua bagian dari sistem berosilasi dengan frekuensi yang sama. Gerak berpasangan penting karena osilator jarang ada di isolasi lengkap dan sistem fisik yang nyata biasanya mampu berosilasi dalam berbagai cara. Misalnya mobil tua bising akan memiliki banyak komponen berpasangan yang mungkin terdengar bergetar dan berderak ketika mesin sedang berjalan! Pada tingkat mikroskopis, atom bergetar dalam kristal memberikan contoh osilator berpasangan. Osilator berpasangan juga penting karena mereka membuka jalan untuk memahami gelombang di media terus-menerus seperti tali yang  kencang. Gerakan gelombang tergantung pada tetangga sistem bergetar yang digabungkan bersama-sama dan sehingga dapat mengirimkan energi dari yang satu ke yang lain.

1.2. Rumusa Masalah

Rumusan masalah yang terdapat pada makalah ini adalah sebagai berikut.

1.    Bagaimanakah sifat fisik dari osilator berpasangan?

2.    Bagaimana mode normal dari osilasi?

3.    Bagaimana superposisi dari mode normal?

4.    Bagaimana gerak bolak-balik massa berpasangan oleh pegas?

5.    Bagaimana gaya osilasi dari osilator berpasangan?

6.    Apa yang dimaksud dengan osilasi melintang?

1.3. Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

1.    Untuk mengetahui sifat fisik osilator berpasangan.

2.    Untuk mengetahui mode normal dari osilasi.

3.    Untuk mengetahui superposisi dari mode normal.

4.    Untuk mengetahui gerak bolak-balik massa berpasangan oleh pegas.

5.    Untuk mengetahui gaya osilasi dari osilator berpasangan.

6.    Untuk mengetahui yang dimaksud dengan osilasi melintang.

1.4. Manfaat

Manfaat dari penulisan makalah ini adalah:

1.    Dapat mengetahui sifat fisik osilator berpasangan.

2.    Dapat mengetahui mode normal dari osilasi.

3.    Dapat mengetahui superposisi dari mode normal.

4.    Dapat mengetahui gerak bolak-balik massa berpasangan oleh pegas.

5.    Dapat mengetahui gaya osilasi dari osilator berpasangan.

6.    Dapat mengetahui yang dimaksud dengan osilasi melintang.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Sifat Fisik Osilator Berpasangan

Kita bisa melihat karakteristik fisik utama osilator berpasangan dengan mengamati gerak dua pendulum sederhana yang digabungkan bersama-sama. Mereka dapat digabungkan dengan memasang poin mereka dari suspensi pada tali pendukung seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1. Ini adalah percobaan sederhana yang bermanfaat untuk dilakukan. Kedua pendulum memiliki panjang yang sama l dan periode osilasi mereka adalah sama. Tali pendukung menyediakan penggabungan antara dua pendulum. Setiap pendulum yang berosilasi itu menarik tali pendukung dan menyebabkan titik suspensi pendulum yang lain didorong kembali dan sebagainya. Gerak setiap pendulum mempengaruhi yang lainnya dan gerakan mereka tidak dapat seimbang dalam berosilasi.

Gambar 4.1 Dua pendulum sederhana panjang l digabungkan bersama-sama dengan tali pendukung. Perpindahan dari dua massa pendulum dianggap dalam arah tegak lurus terhadap bidang halaman.

Kita mempertimbangkan gerakan dua pendulum ke arah tegak lurus terhadap bidang halaman. (i) Pertama kita menggantikan kedua massa pendulum dengan jumlah yang sama dan arah yang sama. Ketika dirilis kita mengamati bahwa dua massa bergerak maju mundur dalam arah yang sama dengan satu sama lain dengan frekuensi yang sama dan amplitudo yang sama. (ii) Selanjutnya kita menggantikan dua massa dengan jumlah yang sama tapi sekarang di arah yang berlawanan. Ketika merilis dua massa bergerak maju mundur dalam arah yang berlawanan. Sekali lagi mereka berdua berosilasi dengan frekuensi yang sama dengan satu sama lain, tetapi pada frekuensi yang sedikit berbeda dari ketika mereka bergerak pada arah yang sama. Kedua cara yang jelas berbeda dari osilasi adalah mode normal dari sistem. Kami mengamati bahwa setelah sistem dimasukkan ke dalam satu atau lain dari ini mode normal tetap dalam mode tersebut dan tidak berkembang ke yang lain. (iii) Sekarang kita hanya mengganti satu massa meninggalkan yang lain pada posisi keseimbangannya. Ketika dirilis massa berpindah bergerak bolak-balik tapi ia melakukannya dengan amplitudo terus berkurang. Pada saat yang sama massa yang awalnya diam mulai berosilasi dan secara bertahap amplitudo osilasinya meningkat. Akhirnya massa pertama sejenak berhenti berosilasi setelah mengalihkan seluruh energi untuk massa kedua yang sekarang berosilasi dengan amplitudo awalnya diberikan kepada massa pertama. Proses ini kemudian mengulangi dengan amplitudo massa kedua terus menurun dan bahwa yang pertama terus meningkat. Siklus ini berlanjut dengan energi berulang kali ditransfer antara dua massa. Perilaku ini tampaknya aneh pada awalnya pandangan dan memang kadang-kadang digunakan oleh conjurors untuk membingungkan penonton mereka; mereka mungkin menggunakan kelapa sebagai massa pendulum! Namun, tidak ada yang misterius tentang pengamatan. Apa yang kita amati adalah superposisi dari dua mode yang normal yang dijelaskan di atas, seperti yang akan kita lihat.

2.2. Mode Normal dari Osilasi

Untuk memperoleh gambaran matematika osilasi ditambah kita mulai lagi dengan sepasang pendulum sederhana tapi sekarang penggabungan disediakan oleh pegas horizontal cahaya yang menghubungkan mereka, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.2. Pegas ini teregang panjang lebar ketika dua pendulum berada di posisi keseimbangan mereka. Massa dan panjang setiap pendulum masing-masing m dan l, dan konstanta pegas adalah k. Pemindahan dari dua massa dari posisi keseimbangannya masing-masing x_a dan x_b, dan sekarang, berbeda dengan Bagian 4.1, kita mempertimbangkan osilasi di bidang halaman.

Gambar 4.2 Dua pendulum sederhana digabungkan bersama-sama dengan pegas horisontal cahaya konstanta pegas k. Perpindahan dari dua massa pendulum dari posisi keseimbangan mereka xa dan xb, masing-masing, dan ini terletak pada bidang halaman.

Kasus (i). Pertama kami menggantikan setiap massa dalam arah yang sama dengan jumlah yang sama seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.3 dan kemudian memlepaskan mereka. Karena pendulum memiliki periode yang sama pegas mempertahankan panjang regangannya dan jadi tidak memainkan peranan dalam bergerak. Kedua pendulum mungkin saja menjadi tidak berhubungan karena keduanya berosilasi pada frekuensi bandul sederhana . Kami kemudian dapat menulis perpindahan dari dua massa, masing-masing, sebagai

              (4.1)

Gambar 4.3 Mode normal pertama osilasi dari sistem ditambah di mana x_a = x_b.

            Dimana A adalah perpindahan awal dan ω₁ = . Sudut fase adalah nol karena massa mulai berhenti. Variasi x_a dan x_b dengan waktu yang ditunjukkan pada Gambar 4.4. Massa berosilasi dalam fase dengan frekuensi dan amplitudo yang sama. Ini adalah mode normal pertama osilasi.

Gambar 4.4 Osilasi dari dua massa dalam mode normal pertama. Osilasi ini memiliki frekuensi dan amplitudo yang sama dan berada dalam fase satu sama lain.

Kasus (ii). Kita sekarang menggantikan setiap massa dengan jumlah yang sama tetapi dalam arah yang berlawanan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.5, dan kemudian melepaskan mereka. Sebagai dua pendulum ayunan bolak-balik pegas bergantian membentang dan dikompresi dan ini diberikannya gaya pemulih tambahan pada massa. Simetri pengaturan memberitahu kita bahwa gerakan massa akan bayangan cermin satu sama lain, yaitu x_a = -x_b. Persamaan resultan gerak massa kemudian

                                              (4.2)

Gambar 4.5 Mode normal kedua osilasi dari sistem ditambah di mana x_a = -x_b.

Istilah pertama di sisi kanan dari persamaan ini adalah memulihkan kekuatan istilah yang biasa untuk bandul sederhana dengan amplitudo osilasi kecil [lihat Persamaan (1.31) dengan x_a  l θ_a untuk θ_a kecil]. Istilah kedua adalah gaya pemulih karena regangan pegas 2x_a. Karenanya

                                                                       (4.3)

dimana  = (g / l + 2k / m). Gerakan pegas adalah untuk meningkatkan gaya pemulih yang bergerak pada masing-masing massa dan ini meningkatkan frekuensi osilasi, yaitu ω₂ > ω₁.

Solusi dari Persamaan (4.3) adalah

                                                                             (4.4)

di mana B adalah perpindahan awal. Lagi sudut fase adalah nol karena massa mulai dari yang lain. Sejak x_a = -x_b,

                 x_b = -B cos ω₂t                                                                (4.5)

Variasi x_a dan x_b dengan waktu yang ditunjukkan pada Gambar 4.6. Massa berosilasi dengan frekuensi dan amplitudo yang sama tapi sekarang mereka 180⁰ keluar dari fase. Kita bisa menulis x_b sebagai cos x_b = B (ω₂ t + π) untuk menekankan hubungan fase ini. Ini adalah mode normal kedua osilasi. Kita melihat bahwa dalam setiap mode normal:

Gambar 4.6 Osilasi dari dua massa dalam mode normal kedua. Osilasi ini memiliki frekuensi dan amplitudo yang sama tetapi dalam anti-fase, yaitu yang 180⁰ keluar dari fase satu sama lain.

·      Kedua massa berosilasi pada frekuensi yang sama.

·      Setiap massa melakukan SHM dengan amplitudo konstan.

·      Ada perbedaan fasa didefinisikan dengan baik antara dua massa; baik nol atau π.

·      Setelah dimulai dalam mode normal tertentu, sistem tetap dalam mode tersebut dan tidak berevolusi menjadi yang lain.

Pentingnya mode normal, sebagaimana yang kita lihat adalah bahwa mereka sepenuhnya bebas dari yang lain.

2.3. Superposisi dari Mode Normal

Secara umum gerak osilator berpasangan akan jauh lebih rumit dari pada kasus (i) dan (ii) di atas. Kasus-kasus yang khusus dalam gerakan itu terbatas pada mode normal tunggal, yaitu baik x_a = x_b atau x_a = -x_b setiap saat. Di umum ini tidak begitu. Kasus umum diilustrasikan pada Gambar 4.7 yang menunjukkan perpindahan dari dua massa dalam waktu singkat dan x_a tidak sama dengan  ± x_b. Ini memberikan perpanjangan pegas (x_a - x_b) dan menghasilkan tegangan T = k (x_a - x_b) pada pegas. Arah dari gaya pegas yang bekerja pada massa seperti ditunjukkan oleh tanda panah pada pegas.

Gambar 4.7 Kasus umum superposisi mode normal di mana x_a  ± x_b.

Gaya pemulih pada massa a adalah

                 

dan gaya pemulih pada massa b adalah

                 

Persamaan resultan gerak yaitu:

                                             (4.6)

dan

                                              (4.7)

Persamaan (4.6) dan (4.7) masing-masing mengandung x_a dan x_b. Sehingga mereka tidak dapat diselesaikan secara terpisah tetapi harus diselesaikan secara bersamaan. Kita bisa melakukan ini sebagai berikut. Menambahkan mereka memberi

                                                     (4.8)

Hal ini membentur persamaan GHS dimana variabel (x_a + x_b), selain itu frekuensi osilasi  adalah frekuensi mode normal pertama ω₁. Mengurangkan Persamaan (4.7) dari Persamaan (4.6) memberi

                                   (4.9)

Ini lagi adalah persamaan dari GHS tapi sekarang dalam variabel (xa - xb). Selain itu, frekuensi osilasi  adalah sama dengan frekuensi mode normal kedua ω₂. Kami memperkenalkan variabel baru q₁ dan q₂ dimana

                                         (4.10)

Kemudian

                                                                         (4.11)

dan

                                                                       (4.12)

Kami sekarang memiliki deskripsi lain dari mode normal. Kami memiliki dua osilasi independen di mana setiap mode normal diwakili oleh osilasi dari variabel tunggal: setiap Persamaan (4.11) dan (4.12) melibatkan hanya satu koordinat, q₁ atau q₂, dan menggambarkan GHS, dengan masing-masing frekuensi ω₁ dan ω₂. Persamaan ini tidak melibatkan hasil kali q₁q₂ misalnya,: tidak ada pasangan antara dua mode normal. Hal ini berbeda dengan Persamaan (4.6) dan (4.7) yang mengandung kedua Posisi koordinat x_a dan x_b. Istilah pada persamaan yang melibatkan (x_a - x_b) merupakan efek bahwa menghubungkan setiap massa melalui pegas. Mereka berpasangan berosilasi dari dua massa: osilasi tidak independen. Solusi umum persamaan (4.11) dan (4.12) masing-masing dapat ditulis:

       (4.13)

seperti yang kita tahu dari Bagian 1.2.4. amplitudo adalah C₁ dan C₂ dan sudut fase adalah φ₁ dan φ₂. Variabel q₁ dan q₂ dinamakan koordinat normal dan ω₁ dan ω₂ disebut frekuensi normal. Jika q₁ = 0 maka x_a = -x_b setiap saat, dan jika q₂ = 0 maka x_a = x_b setiap saat. Hal ini berguna untuk menggambarkan gerak ditambah dalam hal koordinat normal karena persamaan yang dihasilkan dari gerak bergantung pada satu variabel, baik q₁ atau q₂, sehingga mereka dapat dianggap terpisah; perubahan q₁ tidak mempengaruhi q₂ dan sebaliknya. Sebagai contoh, amplitudo dan karenanya energi setiap mode normal tetap konstan; energi tidak pernah mengalir antara satu mode normal dan lain seperti yang akan ditunjukkan segera.

Kita dapat mengekspresikan perpindahan dari dua massa dalam hal koordinat normal. Persamaan (4.10) mengarah ke

  (4.14)

dan

 (4.15)

Kita melihat gerakan yang rumit dari osilator berpasangan (lihat Bagian 4.1) dapat dipecah menjadi kombinasi dari dua osilasi harmonik independen (mode normal). Variabel dari gerak harmonik adalah koordinat normal. Persamaan (4.14) dan (4.15) menunjukkan bahwa solusi dari persamaan (4.6) dan (4.7), yaitu setiap gerakan dari dua massa dapat ditulis sebagai superposisi dari dua mode normal. Oleh karena itu hanya ada dua mode normal untuk sistem kita. Keempat konstanta C₁, C₂, φ₁ dan φ₂ ditentukan oleh posisi awal dan kecepatan dari dua massa, yaitu pada saat t = 0. Jika dua massa dilepaskan dari yang lain pada t = 0, solusi yang tepat untuk q₁ dan q₂ , diperoleh dengan mengambil φ₁ = φ₂ = 0 dalam Persamaan (4.13), yakni

                                       (4.16)

Independensi dua mode normal jelas menunjukkan jika kita menuliskan turunan energi dari sistem. Dalam hal posisi koordinat x_a dan x_b energi yang diberikan oleh:

 (4.17a)

Yang pertama, dua istilah ini mengungkapkan energi kinetik dari dua massa, istilah ketiga adalah seharusnya energi potensialnya menjadi gaya gravitasi dan istilah terakhir adalah energi yang tersimpan dalam pegas. Disajikan dalam hal koordinat yang normal q₁ dan q₂ (Persamaan (4.10)) energi E menjadi:

   (4.17b)

Persamaan ini merupakan energi dari dua osilator harmonik sederhana yang independen dengan frekuensi ω₁ =  dan ω₂ = . Setiap ekspresi dalam tanda kurung persegi di persamaan ini hanya berisi satu dari koordinat normal dan merupakan energi dari terisolasi osilator harmonik tunggal. Tidak ada 'istilah perkalian' melibatkan q₁ dan q₂, yang akan menunjukkan pasangan antara mereka. Hal ini berbeda dengan energi yang dinyatakan dalam posisi koordinat x_a dan x_b (Persamaan (4.17a)) dimana istilah terakhir, yang melibatkan (x_a - x_b), merupakan penghubung antara dua massa.

Contoh Soal

Mempertimbangkan sistem dua pendulum sederhana identik dihubungkan oleh pegas tipis horizontal. Menyimpulkan ekspresi untuk perpindahan dari dua massa dalam hal mode normal dari sistem untuk  kondisi awal menetapkan sebagai berikut, (pada t = 0). Dalam semua kasus massa dilepaskan dari yang lain. (i) x_a = A, x_b = A, (ii) x_a = A, x_b = - A dan (iii) x_a = A, x_b = 0

Penyelasaian:

Kita memiliki x_a =  (C₁ cos ω₁t + C₂ cos ω₂t) dan x_b =  (C₁ cos ω₁t - C₂ cos ω₂t)

 (i).     Mensubstitusi untuk x_a = A, x_b = A pada t = 0 memberikan

Oleh karena itu C 1 = 2 A dan C₂ = 0, memberikan x Sebuah = A cos ω₁ t dan x_b = A cos ω₁ t. Kami mengakui ini sebagai mode normal pertama dengan semua gerakan dalam mode dengan frekuensi ω₁

   (ii).     Mensubstitusi untuk  x_a = A, x_b = - A pada t = 0 memberikan

Oleh karena itu C₁ = A dan C₂ = A, memberikan sebuah =  (A cos ω₁t + A cos ω₂t) dan x_b =  (A cos ω₁t - A cos ω₂t)

Kami mengakui ini sebagai mode normal kedua dengan semua gerak dalam mode dengan frekuensi ω₂.

 (iii).     Mensubstittusi untuk x_a = A, x_b = 0 pada t = 0 memberikan

Oleh karena itu C₁ = A dan C₂ = A, memberikan

Persamaan ini untuk x_a dan x_b mengkombinasikan jumlah persamaan dari dua mode normal. Kita dapat memvisualisasikan hasil ini dengan cara yang berbeda dengan membentuk kembali solusi untuk x_a dan x_b seperti berikut. Mengingat identitas trigonometri:

kita memperoleh

Membiarkan (α - β) = ω 1 dan (α + β) = ω 2 kita peroleh

Jadi

Memberi

Hasil ini merupakan osilasi frekuensi tinggi pada rata-rata dari dua frekuensi normal yang amplitudo dimodulasi oleh frekuensi rendah  jangka setengah perbedaan frekuensi. Ini benar-benar sejalan dengan fenomena pemukulan yang terjadi ketika dua gelombang suara sedikit kombinasi frekuensi yang berbeda. Pukulan yang kita dengar timbul dari istilah modulasi frekuensi rendah. Dalam cara yang sama kita temukan:

Yang mana kita dapat tulis seperti:

Sekali lagi kita memiliki osilasi frekuensi tinggi dimodulasi oleh istilah frekuensi rendah. Kita melihat, bagaimanapun, bahwa kedua istilah kosinus dalam ekspresi untuk x_b yang persis π/2 keluar dari fase sehubungan dengan persyaratan yang sesuai untuk x_a. Variasi dari x_a dan x_b dengan waktu diplot pada Gambar 4.8. Hasil ini menjelaskan perilaku dari dua pendulum berpasangan dalam Bagian 4.1, dimana salah satu pendulum diberi perpindahan awal dan yang lain pada posisi awal keseimbangannya. Titik penting dalam semua contoh ini dengan kondisi awal yang berbeda, adalah bahwa gerakan berikutnya selalu superposisi dari mode normal.

Gambar 4.8 Osilasi dari pendulum berpasangan, terjadi ketika satu massa awalnya adalah (t = 0) di x_a = A dan yang lainnya di x_b = 0.

2.4.   Gerak Bolak-Balik Massa Berpasangan oleh Pegas

Gambar 4.9 menunjukkan dua osilator massa-pegas tetapi independen dengan massa m dan konstanta pegas k melekat pada dua dinding yang kaku. Dua osilator yang digabungkan bersama-sama oleh pegas ketiga juga dari konstanta pegas k seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.10. Pegas ketiga ini memberikan pasangan sehingga gerakan satu massa mempengaruhi gerakan yang lain. Sistem berpasangan ini memiliki dua mode normal dari osilasi. Kita akan menentukan dua frekuensi pada sistem yang berosilasi, yaitu frekuensi normal dan perpindahan relatif massa dalam dua mode normal. Kita bisa memanfaatkan simetri sistem untuk tempat dua mode normal seperti yang kita lakukan dalam Bagian 4.2 untuk pendulum berpasangan. Intuisi fisik kita akan menunjukkan bahwa mode normal akan (i) kemana kedua massa bergerak ke arah yang sama dan (ii) kemana mereka bergerak dalam arah berlawanan. Kedua mode ditunjukkan dengan tanda panah pada Gambar 4.10. Kita juga mungkin berharap mode yang (ii) akan memiliki peninggi frekuensi dari osilasi karena ketiga pegas mengalami efek bukan hanya dua seperti dalam mode (i). Daripada melihat mode normal kita mengadopsi pendekatan yang lebih umum di mana kita memanfaatkan karakteristik mode normal, yaitu bahwa dalam mode normal semua massa berosilasi pada frekuensi yang sama dan masing-masing massa melakukan GHS dengan amplitudo konstan. Demi kesederhanaan kita akan mengasumsikan bahwa dua massa yang awalnya diam, yaitu mereka memiliki kecepatan nol pada t = 0. Gambar 4.11 menunjukkan dua massa a dan b pengungsi oleh nilai-nilai sewenang-wenang masing-masing x_a dan x_b, dari keseimbangan posisinya pada waktu yang singkat. Untuk melihat lebih mudah arah dari gaya yang bekerja pada massa kita membiarkan x_b > x_a. Pegas kiri diperpanjang oleh x_a, pegas tengah ditarik oleh (x_b - x_a) dan pegas sebelah kanan dikompresi oleh x_b. Arah resultan gaya pada massa ditunjukkan oleh arah anak panah. Untuk mendapatkan persamaan gerak untuk setiap massa kita perlu mempertimbangkan gaya yang diberikan oleh pegas di kedua sisi massa.

Gambar 4.9 Dua osilator massa-pegas tidak berpasangan

Gambar 4.10 Dua osilator massa-pegas berpasangan bersama-sama oleh ketiga pegas. Tanda panah menunjukkan arah perpindahan dari dua massa didalam dua mode normal.

Gambar 4.11 Dua osilator massa-pegas berpasangan bersama-sama oleh ketiga pegas. Massa berada berpindah sewenang-wenang, masing-masing x_a dan x_b, dari posisi keseimbangannya

Persamaan resultan gerak yaitu:

                                    (4.18)

dan

                                    (4.19)

Kita melihat untuk solusi mode normal dari persamaan ini, di mana kedua massa  berosilasi pada frekuensi yang sama ω, solusi dari bentuk x_a = A cos ωt dan x_b = B cos ωt. Substitusi  x_a ini didalam Persamaan (4.18) menghasilkan:

                           

memberi

                                                                                     (4.20)

Substitusi x_b dalam persamaan (4.19), menghasilkan:

                 

memberi

                                                                              (4.21)

Selama A dan B keduanya bukan nol, sisi kanan Persamaan (4.21) dan (4.22) harus sama, yaitu kita membutuhkan:

                                                          (4.22)

mengalikan seluruhnya pada

                                                                            (4.23)

Ini adalah persamaan kuadrat dalam ω² yang dipandang sekaligus untuk solusi Ini adalah frekuensi yang normal dari sistem yang berpasangan. Meletakkan  dalam persamaan (4.20) memberikan A = B. Ini adalah mode normal pertama di mana dua massa bergerak ke arah yang sama karena masing-masing berbeda dan dengan amplitudo yang sama. Kemudian

                                            (4.24)

di mana  Meletakkan ω² = 3k/m dalam persamaan (4.20) memberikan A = - B. Ini adalah mode normal kedua di mana tanda minus memberitahu kita bahwa massa bergerak pada arah berlawanan. Jadi

                                        (4.25)

Dimana  Semua hasil ini sesuai dengan intuisi fisik kita. Karena kebanyakan osilator berpasangan tidak memiliki simetri yang memungkinkan kita untuk tempat  mode normal, pendekatan yang dijelaskan di sini adalah sifat-sifat dasar secara normal. Seperti pada umumnya gerak akan menjadi superposisi dari dua mode normal, yaitu

                       

dan

                 

Jika massa tidak memiliki kecepatan nol pada t = 0, kita perlu untuk memasukkan sudut fase seperti pada persamaan (4.14) dan (4.15).

Contoh Soal

Gambar 4.12 menunjukkan dua massa yang sama dari massa m digantungkan pada dua pegas identik dari konstanta pegas k. Tentukan frekuensi normal dari sistem ini

Gambar 4.12 Dua massa yang sama sedang diskors dari dua pegas yang identik dengan konstanta pegas k. Perpindahan dari dua massa dari posisi keseimbangannya masing-masing x_a dan x_b, diukur dalam arah ke bawah. untuk osilasi vertikal dan rasio amplitudo osilasi dari massa pada frekuensi tersebut.

Penyelesaian

Misalkan x_a dan x_b berubah-ubah pemindahan massa dari masing-masing posisi keseimbangan dan misalkan x_b lebih besar dari x_a. Kemudian sambung pegas dari atas dan bawah masing-masing x_a dan (x_b - x_a), dan arah dari gaya yang bekerja pada dua massa seperti ditunjukkan oleh anak panah. Persamaan resultan gerak yaitu:

                       

dan

                 

Kali ini kita mencoba solusi yang kompleks dari bentuk, x_a = Ae ^iωt dan x_b = Be ^iωt. Substitusi x_a dan x_b kedalam persamaan gerak dan membagi melalui oleh e^iωt menyebabkan

                                                                (4.26a)

dan

                                                                  (4.26b)

Persamaan (4.26) mengarah ke persamaan kuadrat (mω²)² - 3 kmω² + k² = 0, yang memiliki solusi ω² = (k/2m) (3 ± ), memberikan dua frekuensi normal. Menggantikan ω² = (k /2m) (3 - ) dalam Persamaan (4.26a) memberikan A/B = 1/2 (  -1), sementara substitusi untuk ω² = (k /2m) (3 + ) memberikan A/ B = -1/2 (  + 1) di mana tanda minus menunjukkan bahwa massa bergerak di arah berlawanan, yaitu anti-fase.

Sebuah cara yang ampuh untuk menangani persamaan simultan yang muncul untuk osilator berpasangan adalah dengan menggunakan representasi matriks. Ini bekerja seperti contoh di atas sebagai berikut. Persamaan (4.26) masing-masing dapat ditulis, sebagai

                                                    (4.27a)

dan

                                                   (4.27b)

Dalam matriks ini membentuk persamaan menjadi

                                                  (4.28)

Ini adalah persamaan nilai eigen. Solusi dari persamaan ini untuk ω² disebut nilai eigen. Kolom vektor dengan komponen A dan B adalah vektor eigen dari matriks. Kita bisa menulis ulang Persamaan (4.28) dalam bentuk berikut

                                                (4.29)

Persamaan ini memiliki solusi bukan-nol jika dan hanya jika determinan hilang, yaitu jika

                             

memberikan m²ω⁴ - 3 kmω²+ k² = 0 dan solusi ω² = (k/2m) (3 ± ) seperti sebelumnya. Substitusi untuk solusi ini di Persamaan (4.28) menghasilkan dua nilai dari A/B. Kekuatan dari pendekatan ini adalah tidak jelas untuk kasus dua osilator berpasangan tapi dengan cepat menjadi jelas ketika lebih dari dua yang terlibat. Pada bagian ini kita telah membahas contoh dua massa dihubungkan oleh pegas dimana massa berosilasi didalam satu dimensi, yaitu sepanjang sumbu x. Kita menemukan bahwa sistem ini memiliki dua mode normal osilasi dan bahwa setiap mode memiliki sebuah asosiasi yang normal berkoordinasi q dan frekuensi sudut yang normal ω. Hasil ini dapat digeneralisasi untuk massa N dihubungkan oleh pegas dan bergerak di tiga dimensi. Adapun kasus dari dua massa yang massa N tidak bergerak dengan bebas. Ketika salah satu massa diatur berosilasi, massa lainnya akan terganggu dan akan mulai berosilasi. Untuk N massa berpasangan ada 3 N mode normal osilasi di mana faktor dari 3 sesuai dengan tiga arah tegak lurus  bersama yang masing-masing massa dapat berpindah. Sekali lagi setiap mode normal memiliki koordinat yang normal dan frekuensi normal, sehingga kita memiliki koordinat yang normal q₁, q₂, ..., q_3N dengan frekuensi yang normal sesuai ω₁, ω₂, ..., ω_3N. Untuk setiap mode normal kita memiliki SHM independen dalam koordinat q dengan frekuensi ω. Sebuah contoh yang baik ini disediakan oleh sebuah kisi kristal. Dalam Bagian 1.2.6 kita menggambarkan bagaimana atom dalam kristal dapat dimodelkan sebagai osilator harmonik sederhana dan bagaimana Einstein menggunakan model ini untuk menjelaskan variasi dari panas spesifik kristal dengan temperatur. Walaupun model Einstein telah sukses besar dalam menjelaskan utama  fitur perilaku ini, model adalah penyederhanaan besar dan memiliki keterbatasan. Hal ini karena mengasumsikan bahwa atom bergetar benar-benar independen dari satu sama lain tentang situs kisi tetap. Pada kenyataannya, bukan karena atom digabungkan bersama-sama. Sebuah analog mekanik makroskopik dari kisi kristal akan terdiri dari bola bilyar terhubung bersama-sama dengan pegas yang identik. Gambar 4.13 ini menunjukkan gambar dua dimensi. Jika satu bola diatur bergetar, mengatakan sebuah berlabel pada Gambar 4.13, gangguan akan menyebarkan ke seluruh sistem sampai semua bola bergetar. Demikian pula, atom dalam sebuah kristal yang berpasangan daripada osilator independen. Teori Einstein dapat ditingkatkan dengan menggambarkan N atom dalam kristal segi 3 N mode normal dari getaran seluruh kristal, dengan karakteristik frekuensi sudut sendiri masing-masing ω₁, ω₂, ..., ω_3N . Dalam istilah mode normal ini, getaran kisi setara dengan 3 N osilator harmonik independen dengan frekuensi sudut (lihat juga Mandl, 2 Bagian 6.3)

Gambar 4.13 Dua-dimensi analog dari sebuah kisi kristal, yang terdiri dari bola bilyar yang dihubungkan oleh pegas.

Penggabungan juga bisa terjadi pada osilasi sirkuit listrik (lihat Gambar 1.21). Sebuah  versi listrik dari osilator berpasangan ditunjukkan pada Gambar 4.14. Sebuah kebersamaan (membagi bersama) pasangan induktor M bersama-sama dua rangkaian listrik dimana fluks magnetic yang timbul dari arus dalam satu rangkaian benang sirkuit kedua. Setiap perubahan fluks menginduksi tegangan di kedua sirkuit. Sebuah transformator, yang digunakan untuk mengubuah amplitudo tegangan AC, tergantung pada induktansi untuk operasinya.

Gambar 4.14 Contoh dari osilator listrik berpasangan, di mana penggabungan disajikan bersama oleh induktansi M.

2.5. Osilasi Teredam dari Osilator Berpasangan

Untuk kasus dua osilator berpasangan bersama-sama kita dapat mengharapkan perilaku serupa. Sekarang, bagaimanapun, ada dua frekuensi alami yang sesuai dengan dua frekuensi normal. Dengan demikian kita dapat berharap bahwa sistem akan menunjukkan besar osilasi amplitudo ketika frekuensi mengemudi dekat dengan salah satu dari dua frekuensi normal. Ini memang terjadi. Kita dapat menjelajahi osilasi paksa dengan mempertimbangkan susunan dua massa yang dihubungkan oleh pegas seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.15. Ini mirip dengan susunan yang ditunjukkan pada Gambar 4.10 tapi sekarang akhir s salah satu pegas luar dipindahkan harmonis sebagai ξ = a cos ωt. Perpindahan ξ, x_a dan x_b massa dari kesetimbangan ditunjukkan pada Gambar 4.15 pada waktu tertentu.

Gambar 4.15 Osilasi teredam dari osilator berpasangan. Akhir s dari pegas yang dipindahkan harmonis sebagai ξ = a cos ωt

Persamaan yang dihasilkan dari gerak untuk massa a adalah

                                          (4.30)

Memberi

                                            (4.31)

dimana F₀ = k_a. Demikian pula, persamaan gerak untuk massa b adalah

                                                            (4.32)

Kita dapat menyelesaikan dua persamaan simultan masing-masing menambah dan menguranginya. Jadi

                               (4.33)

dan

                            (4.34)

Kita sekarang mengubah variabel kedalam koordinat normal

                                               (4.35)

Memberikan

                                                          (4.36)

dan

                                                     (4.37)

Ini adalah hasil yang menarik dan mengilustrasikan kekuatan dan kesederhanaan dari penggambaran gerak berpasangan dalam hal dari koordinat normal. Untuk setiap koordinat independen q₁ dan q₂ kita memiliki persamaan untuk osilasi paksa dari osilator harmonik sederhana, yaitu persamaan dari bentuk yang sama seperti Persamaan (3.1) di bagian 3.2.1, dan kita dapat sekaligus mengambil alih solusi Persamaan (3.5a) dan (3.7a), dari bagian tersebut. Kita bisa menggambarkan solusi keadaan tetap oleh persamaan  q₁ = C₁ cos ωt dan q₂ = C₂ cos ωt, dimana

                                                                             (4.38)

                                                                             (4.39)

dan di mana  = k/m dan   = 3 k/m. Nilai maksimum C₁ dan C₂ diberikan oleh persamaan ini yang jauh besar ketika masing-masing ω = ω₁ dan ω = ω₂, sehingga osilasi amplitudo akan menjadi terbatas jika sistem didorong pada satu frekuensi normal. Dapat kita simpulkan bahwa osilator berpasangan akan berosilasi dengan amplitudo besar ketika didorong pada frekuensi normalnya. Pada frekuensi mengemudi lainnya massa akan berosilasi pada frekuensi mengemudi tetapi dengan amplitudo yang jauh lebih kecil. Dari Persamaan (4.35) kita memiliki                                                            

dan

       

Mengikutinya dari Persamaan (4.38) dan (4.39) bahwa ketika frekuensi mengemudi ω adalah dekat frekuensi normal pertama ω₁ = , kita memiliki |C₁| » |C₂|, dan x_a ≈ x_b, yaitu dua massa berosilasi dalam fase. Ketika frekuensi mengemudi ω adalah dekat frekuensi normal kedua ω₂ = , satu sama diperoleh x_a ≈ - x_b , yaitu dua massa berosilasi didalam anti-fase.

            Karena sebuah sistem berpasangan berosilasi dengan amplitudo besar ketika didorong pada salah satu frekuensi normalnya ini menyediakan sebuah cara untuk menentukan frekuensi ini secara eksperimen. Sebuah contoh yang baik disajikan oleh getaran dari molekul yang mengandung lebih dari dua atom. Sebagai contoh, molekul karbon dioksida (CO₂) dapat di modelkan oleh tiga massa yang dihubungkan oleh dua pegas dalam konfigurasi linier. Pusat massa merupakan atom karbon dan dua massa lainnya mewakili atom oksigen sedangkan pegas merupakan obligasi molekul. Sistem ini memiliki dua mode normal dari getaran untuk perpindahan sepanjang  garis yang menghubungkan massa. Ini masing-masing disebut mode peregangan simetris dan mode peregangan asimetris seperti yang diilustrasikan pada Gambar 4.16 (a) dan (b). Pada mode peregangan simetris pusat massa tetap dalam posisi sementara dua massa luar bergetar menentangnya. Dalam mode peregangan asimetris dua massa luar bergerak ke arah yang sama dan terpisah menjaga jarak yang sama. Namun, karena tidak ada gerak bertranslasi, massa pusat bergerak ke arah yang berlawanan  untuk menjaga posisi pusat massa stasioner. Frekuensi yang normal dari getaran molekul ditentukan secara eksperimental oleh spektroskopi penyerapan. Dalam teknik ini, radiasi dari frekuensi merdu dilewatkan melalui sel yang berisi molekul yang menarik. Osilasi medan listrik dari radiasi yang berinteraksi dengan molekul yang berperilaku seperti osilator didorong. Intensitas dari radiasi setelah melewati sel, diukur sebagai fungsi dari frekuensinya. Hal ini memberikan spektrum penyerapan dari molekul. Ketika frekuensi dari radiasi cocok dengan frekuensi normal, radiasi yang kuat diserap oleh molekul. Frekuensi di mana penyerapan ini terjadi memberikan langsung frekuensi mode normal molekul. Nilai yang diukur dari frekuensi ν untuk peregangan simetris dan mode peregangan asimetris dari molekul CO₂ masing-masing 4,0 × 10¹³ s^-1 dan 7,0 × 10¹³ s^-1. Molekul CO² juga memiliki mode lentur dari getaran seperti yang diilustrasikan pada Gambar 4.16 (c). Frekuensi dari mode ini adalah 2,0 × 10¹³ s^-1 . Gerakan lentur ini dapat terjadi dalam dua bidang ortogonal dan karena ini memiliki frekuensi yang sama dari getarannya dikatakan memburuk pada frekuensi. Frekuensi ini terletak pada wilayah inframerah jauh dari spektrum elektromagnetik, dengan panjang gelombang  ~10 µm.

Gambar 4.16 Sebuah model dari mode normal dari getaran molekul CO₂: (a) mode peregangan simetris; (b) mode peregangan asimetris; dan (c) mode lentur.

Getaran molekul CO₂ dan beberapa molekul lain di atmosfer bumi memainkan sebuah peran kunci dalam pemanasan global karena mereka sangat kuat menyerap radiasi inframerah yang jauh. Suhu permukaan Matahari 5800 K dan radiasi yang dipancarkan oleh permukaan matahari sekitar 500 nm. Namun, permukaan bumi berada pada suhu jauh lebih rendah, ~300 K, dan radiasi permukaannya ~10 µm. Atmosfer bumi sebagian besar dilewati dekat Radiasi matahari dan terlihat transparan pada panjang gelombang inframerah. Namun, pemanasan global menyerap molekul bumi radiasi inframerah jauh dan bertindak untuk menjebak energinya. Efek ini mengarah untuk peningkatan suhu pada permukaan bumi.

2.6. Osilasi Melintang

Dalam pembahasan kita osilasi dari massa berpasangan oleh pegas berpindah secara periodik dari massa berlangsung sepanjang garis yang menghubungkannya. Ini disebut osilasi longitudinal. Hal ini juga memungkinkan perpindahan secara periodik dalam arah tegak lurus ke garis ini. Sementara itu kita menganggap bahwa osilasi melintang dari massa tunggal m dihubungkan oleh dua pegas seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.17. Ini memiliki konstanta pegas k, dan panjang l dari setiap pegas lebih besar dari panjang teregang sehingga ada tegangan T pada pegas. Massa dipindahkan dalam arah melintang oleh jarak y, dimana perpindahan ke atas diambil sebagai positif. Kita pertama mencatat bahwa untuk perpindahan kecil tegangan pada pegas tetap konstan, dapat kita lihat sebagai  berikut. Untuk perpindahan y, setiap pegas akan bertambah panjang sebesar l yang diberikan oleh

Gambar 4.17 Perpindahan transversal dari massa tunggal berpasangan m oleh dua pegas dari konstanta pegas k.

dimana θ = arctan (y/l). Untuk sudut kecil, cos θ ≃ (1 - θ² )^1/2 , dan l ≃ lθ²/ 2. Jika θ kecil maka θ² sangat kecil dan juga istilah dalam θ² dapat diabaikan. Kemudian untuk aproksimasi regangan pegas sangatlah kecil dan tegangan pada pegas T dapat dianggap konstan. Namun, pegas menggunakan sebuah gaya pemulih berlaku pada massa yang sama menjadi 2T sin θ. Persamaan resultan gerak adalah

                                     (4.40)

untuk θ kecil, memberi pendekatan yang baik:

                                                                       (4.41)

Ini adalah persamaan GHS dengan frekuensi . Sistem memiliki satu mode normal dari getaran.

            Kita sekarang memperluas pembahasan kita untuk sebuah osilator berpasangan terdiri dari dua massa sama dihubungkan oleh tiga pegas yang identik dengan panjang l dan dengan tegangan T, seperti ditunjukkan pada Gambar 4.18. Massa dipindahkan dalam arah melintang oleh jarak masing-masing y_a dan y_b. Arah dari gaya yang bekerja pada massa ditunjukkan oleh anak panah dan persamaan resultan gerak untuk dua massa yang diturunkan sebagai berikut. Untuk massa a, kita memiliki

                                   (4.42)

Gambar 4.18 Perpindahan transversal dari dua massa yang dihubungkan oleh pegas.

memberi, untuk perpindahan kecil:

                       (4.43)

Demikian pula, untuk massa b kita memiliki:

                

Memberi

                                                               (4.44)

Mensubstitusi y_a = Ae^iωt dan y_b = Be ^iωt kedalam Persamaan (4.43) dan (4.44) dan membagi melalui e^iωt  sehingga:

                                                                (4.45)

dan

                                                                    (4.46)

Persamaan (4.45) dan (4.46) memberikan dua ekspresi untuk A/B, dan persamaan kuadrat dalam ω².       

                                                                  (4.47)           

dengan solusi ω² = T/ml dan 3T/ml. Mensubtitusi ω² = T/ml dalam Persamaan (4.45) memberikan A = B. Ini sesuai dengan mode normal pertama dari sistem dimana kedua massa bergerak dalam arah yang sama dengan satu sama lain seperti yang diilustrasikan pada Gambar 4.19 (a) dan masing-masing melakukan SHM pada frekuensi yang normal ω₁ = . Mensubstitusi ω² = 3T/ml dalam Persamaan (4.45) memberikan A = -B. Hal ini terkait mode normal kedua dari sistem di mana dua massa bergerak di berlawanan arah satu sama lain seperti yang diilustrasikan pada Gambar 4.19 (b) dan masing-masing melakukan SHM di frekuensi yang normal ω² = .

Gambar 4.19 Dua mode normal untuk osilasi melintang dari dua massa yang dihubungkan oleh pegas di mana (a) massa bergerak dalam arah yang sama dengan satu sama lain dan (b) mereka bergerak berlawanan arah.

    

            Kita melihat bahwa frekuensi dari osilasi tergantung pada mode normal tertentu. Dia  juga sebanding dengan akar kuadrat dari tegangan T dan berbanding terbalik dengan akar kuadrat dari massa m. Mode normal yang ditunjukkan pada Gambar 4.19 sudah mulai menyerupai gelombang berdiri pada sebuah tali tegang. Kesamaan ini bahkan lebih mencolok ketika kita memiliki nomor N lebih besar  dari massa. Untuk menekankan kesamaan ini kita lihat Gambar 4.20 pengaturan sembilan massa dihubungkan dengan tali elastis dengan panjang yang sama l. Gambar ini menunjukkan tiga skematis yang mungkin dari mode osilasi dari pengaturan ini. Tanpa mengejar rincian dari matematika, kita mencatat bahwa di setiap mode normal semua massa individu berosilasi di SHM pada frekuensi yang sama, sama dengan frekuensi normal. Bagaimanapun, osilasi amplitudo akan bervariasi dari massa ke massa seperti ditunjukkan oleh Gambar 4.20. Jumlah mode normal adalah sama dengan jumlah massa dan mungkin mode normal tertinggi akan terjadi ketika massa alternatif bergerak berlawanan arah, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.20 (c). Hal ini memberikan batas atas untuk frekuensi normal tertinggi yang mungkin. Jika kita secara bersamaan mengambil batas  N → ∞, m → 0 dan l → 0, sedemikian rupa sehingga Nm tetap terbatas, kita memang mendapatkan situasi gelombang berdiri pada tali tegang. Jadi kita melihat bahwa osilator berpasangan adalah jembatan antara getaran dan gelombang. Pembahasan kita tentang osilator berpasangan juga telah melihat penampilan berulang GHS lagi dan lagi, dan ini lanjut menekankan pentingnya dan keragaman bentuk dari gerak.

Gambar 4.20 Beberapa mode normal osilasi melintang selama sembilan massa dihubungkan oleh tali elastis: (a) mode normal pertama; (b) mode normal kedua; dan (c) mode normal tertinggi.

SOAL 4

1.    Dua pendulum sederhana, dengan panjang dan massa masing-masing 0,300 m dan 0,950 kg, digabungkan dengan melampirkan cahaya, pegas horizontal dari konstanta pegas k = 1,50 N m^-1 kepada massa. (a) Tentukan frekuensi dari dua mode normal. (b) Salah satu pendulum adalah diadakan pada jarak kecil dari posisi kesetimbangan sementara pendulum lain diadakan di posisi keseimbangannya. Kedua pendulum kemudian dirilis secara bersamaan. Menunjukkan bahwa setelah waktu sekitar 12 s, osilasi amplitudo dari pendulum yang pertama akan menjadi sama dengan nol sejenak. (Asumsikan g = 9,81 ms^-2 .)

2.    Dua pendulum sederhana, dengan panjang dan massa masing-masing 0,50 m dan 5,0 kg, digabungkan dengan melampirkan cahaya, pegas horizontal dari konstanta pegas k = 20 N m^-1 kepada massa. (a) Salah satu massa diadakan pada perpindahan horizontal x_a = +5,0 mm sedangkan massa lainnya diadakan pada perpindahan horizontal x_b = +5,0 mm. Dua massa yang kemudian dibebaskan dari sisa bersamaan. Menggunakan ekspresi

di mana ω₁ dan ω₂ adalah frekuensi normal, tentukan nilai-nilai dari C₁ dan C₂ . Plot x_a dan x_b sebagai fungsi waktu t selama interval waktu t = 0 sampai 10 s. (b) Ulangi bagian (a) untuk kondisi awal: (i) x_a = +5,0 mm, x_b = -5,0 mm, (ii) x_a = +10 mm, x_b = 0 mm dan (iii) x_a= +10 mm, x_b = +5,0 mm. (Asumsikan g = 9,81 ms^-2 )

3.    Perhatikan contoh dua massa yang identik dihubungkan oleh tiga pegas identik seperti ditunjukkan pada Gambar 4.11. Gabungkan persamaan gerak dari kedua massa untuk mendapatkan sepasang persamaan dalam bentuk:

dan karenanya mendapatkan koordinat normal q₁ dan q₂ dan frekuensi normal masing-masing ω₁ dan ω₂.

4.    Dua pendulum identik massa yang sama m dihubungkan oleh pegas cahaya. Perpindahan dari dua massa yang diberikan oleh masing-masing,

Asumsikan bahwa pegas cukup lemah sehingga energi potensialnya dapat diabaikan dan bahwa energi setiap pendulum dapat dianggap konstan selama siklus osilasi nya. (a) Tunjukkan bahwa energi dari dua massa

dan

dan bahwa energi total sistem tetap konstan. (b) Sketsakan E_a dan E_b melebihi beberapa siklus pada grafik yang sama. Apakah ada frekuensi pada pertukaran energi total antara dua massa?

5.    Dua massa identik massa m ditangguhkan dari dukungan kaku oleh dua pegas panjang l dan berosilasi dalam bidang vertikal seperti yang diilustrasikan oleh gambar.

Osilasi adalah bahwa setiap perubahan amplitudo cukup kecil dalam tegangan dari dua tali dari nilai-nilainya ketika sistem dalam keseimbangan statis dapat diabaikan. Dalam penambahan aproksimasi  sudut-kecil sin q ≃ q dapat dibuat.

a)    Tunjukkan bahwa persamaan gerakan massa atas dan bawah, masing-masing adalah

dan

b)   Dengan asumsi solusi dari bentuk x₁ = A cos ωt dan x₂ = B cos ωt, menunjukkan bahwa kedua frekuensi normal dari sistem adalah  dan menemukan rasio yang sesuai, B/A. (c) Tentukan periode dua mode normal untuk l = 1.0 m dan membandingkan ini dengan panjang dari periode bandul sederhana. (Asumsikan g = 9,81 ms^-2)

6.    Gambar dibawah ini menunjukkan dua massa identik dari massa m terhubung dengan massa ketiga dari massa M oleh dua pegas identik dari konstanta pegas k. Pertimbangkan getaran dari massa sepanjang garis yang menghubungkan pusat-pusanya dimana masing-masing x₁, x₂ dan x₃ adalah perpindahan mereka dari keseimbangan.

a)    Tanpa ada rincian matematika, gunakan intuisi fisik Anda untuk        menyimpulkan frekuensi normal untuk getaran simetris-peregangan.

b)   Tunjukkan bahwa persamaan gerak dari tiga massa adalah:

dan

di mana = k/m dan = k/M. (c) Tunjukkan bahwa frekuensi normal dari sistem adalah  dan . (d) Tentukan rasio frekuensi normal untuk m/M = 16/12 dan bandingkan dengan frekuensi getaran dari molekul CO₂ diberikan dalam teks.

7.    Gambar ini menunjukkan dua massa dari massa 3m dan m tergantung pada pegas dari konstanta pegas masing-masing 4k dan k.

(a) Tunjukkan bahwa frekuensi normal osilasi adalah  dan .

(b)  Jelaskan dua mode normal.

8.    Lima massa identik dihubungkan oleh enam pegas identik antara dua dinding yang kaku, seperti yang diilustrasikan pada gambar, dan bergerak tanpa gesekan pada permukaan horizontal. Bagaimana banyak mode normal dari getaran dalam arah melintang yang dilakukan sistem? Sketsa mode ini biasa mengingat bahwa posisi melintang dari massa melewati kurva sinusoidal (lihat Gambar 4.20)

9.    Gambar ini menunjukkan dua massa M dan m tergantung dari langit-langit yang kaku oleh pegas dari konstanta pegas k₁ dan k₂.

(a) Jika massa M dikenai gaya F₀ cos ωt dalam arah ke bawah, menunjukkan bahwa persamaan gerak dari massa adalah

dan

dimana x₁ dan x₂ adalah perpindahan massa masing-masing M dan m, dari posisi keseimbangan mereka.

(b) Asumsi solusi dari bentuk x₁ = A cos ωt dan x₂ = B cos ωt menunjukkan bahwa

dan

(c) Untuk ω =  menunjukkan bahwa amplitudo getaran dari massa M akan menjadi nol jika k₂/k₁ = m/M.

10.    Tiga massa identik massa m dihubungkan dengan empat pegas identik dari konstanta pegas k antara dua dinding yang kaku, seperti yang ditunjukkan pada gambar, dan bergerak tanpa gesekan pada permukaan horizontal. Mereka bergetar sepanjang garis yang menghubungkan pusat-pusat mereka.

(a)      Tunjukkan bahwa frekuensi normal dari sistem adalah  dan . (b) Jelaskan tiga mode normal dari getaran.

[Gambaran: Determinan]

 DAFTAR PUSTAKA

King, George C. 2009. Vibrations and Waves. Antony Rowe Ltd, Chippenham, Wiltshire.