BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Sejauh ini
osilator harmonik sederhana kita anggap
seperti massa pada pegas atau pendulum sederhana yang hanya
memiliki satu cara berosilasi. Ini ditandai oleh frekuensi
alami tunggal osilasi. Dalam bab ini kita mempertimbangkan sistem terdiri dari dua (atau lebih) osilator yang berpasangan bersama-sama dalam beberapa cara dan yang memiliki
lebih dari satu frekuensi osilasi. Kita akan melihat bahwa pasangan ini menghasilkan efek fisik baru dan penting.
Masing-masing dari frekuensi berhubungan dengan cara yang berbeda di mana
sistem dapat berosilasi. Ini cara yang berbeda disebut mode normal dan
frekuensi berhubungan disebut frekuensi normal. Mode normal dari sebuah sistem
dicirikan oleh fakta bahwa semua bagian dari sistem berosilasi dengan frekuensi
yang sama. Gerak berpasangan penting
karena osilator jarang ada di isolasi lengkap dan sistem fisik yang nyata
biasanya mampu berosilasi dalam berbagai cara. Misalnya mobil tua bising akan
memiliki banyak komponen berpasangan yang
mungkin terdengar bergetar dan berderak ketika mesin sedang berjalan! Pada
tingkat mikroskopis, atom bergetar dalam kristal memberikan contoh osilator berpasangan. Osilator berpasangan juga
penting karena mereka membuka jalan untuk memahami gelombang di media terus-menerus seperti tali yang kencang. Gerakan gelombang tergantung pada
tetangga sistem bergetar yang digabungkan bersama-sama dan sehingga dapat mengirimkan energi dari yang satu ke yang lain.
1.2. Rumusa
Masalah
Rumusan masalah yang terdapat pada
makalah ini adalah sebagai berikut.
1.
Bagaimanakah sifat
fisik dari osilator berpasangan?
2.
Bagaimana mode
normal dari osilasi?
3.
Bagaimana
superposisi dari mode normal?
4.
Bagaimana gerak bolak-balik
massa berpasangan oleh pegas?
5.
Bagaimana gaya
osilasi dari osilator berpasangan?
6.
Apa yang dimaksud
dengan osilasi melintang?
1.3. Tujuan
Tujuan
dari penulisan makalah ini adalah:
1.
Untuk mengetahui
sifat fisik osilator berpasangan.
2.
Untuk mengetahui
mode normal dari osilasi.
3.
Untuk mengetahui
superposisi dari mode normal.
4.
Untuk mengetahui
gerak bolak-balik massa berpasangan oleh pegas.
5.
Untuk mengetahui
gaya osilasi dari osilator berpasangan.
6.
Untuk mengetahui
yang dimaksud dengan osilasi melintang.
1.4. Manfaat
Manfaat
dari penulisan makalah ini adalah:
1.
Dapat mengetahui sifat fisik osilator berpasangan.
2.
Dapat mengetahui
mode normal dari osilasi.
3. Dapat mengetahui superposisi dari mode normal.
4. Dapat mengetahui gerak bolak-balik massa berpasangan oleh
pegas.
5. Dapat mengetahui gaya osilasi dari osilator berpasangan.
6. Dapat mengetahui yang dimaksud dengan osilasi melintang.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. Sifat Fisik
Osilator Berpasangan
Kita bisa melihat karakteristik fisik utama osilator
berpasangan dengan mengamati gerak dua pendulum sederhana yang digabungkan
bersama-sama. Mereka dapat digabungkan dengan memasang poin mereka dari
suspensi pada tali pendukung seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1. Ini
adalah percobaan sederhana yang bermanfaat untuk dilakukan. Kedua pendulum
memiliki panjang yang sama l dan
periode osilasi mereka adalah sama. Tali pendukung menyediakan penggabungan
antara dua pendulum. Setiap pendulum yang berosilasi itu
menarik tali pendukung dan menyebabkan titik
suspensi pendulum yang lain didorong kembali dan
sebagainya. Gerak setiap pendulum mempengaruhi yang lainnya dan gerakan mereka tidak dapat seimbang dalam berosilasi.
Gambar 4.1 Dua pendulum sederhana panjang l
digabungkan bersama-sama dengan tali pendukung. Perpindahan dari dua massa
pendulum dianggap dalam arah tegak lurus terhadap bidang halaman.
Kita mempertimbangkan gerakan dua
pendulum ke arah tegak lurus terhadap bidang halaman. (i) Pertama kita
menggantikan kedua massa pendulum dengan jumlah yang sama dan arah yang sama.
Ketika dirilis kita mengamati bahwa dua massa bergerak maju mundur dalam arah
yang sama dengan satu sama lain dengan frekuensi yang sama dan amplitudo yang
sama. (ii) Selanjutnya kita menggantikan dua massa dengan
jumlah yang sama tapi sekarang di arah yang berlawanan. Ketika merilis dua
massa bergerak maju mundur dalam arah yang berlawanan. Sekali lagi mereka
berdua berosilasi dengan frekuensi yang sama dengan satu sama lain, tetapi pada
frekuensi yang sedikit berbeda dari ketika mereka bergerak pada arah yang sama. Kedua cara yang jelas berbeda dari osilasi
adalah mode normal dari sistem. Kami mengamati bahwa setelah sistem dimasukkan
ke dalam satu atau lain dari ini mode normal tetap dalam mode tersebut dan
tidak berkembang ke yang lain. (iii) Sekarang kita hanya mengganti satu massa meninggalkan yang lain pada posisi
keseimbangannya. Ketika dirilis massa berpindah bergerak
bolak-balik tapi ia melakukannya dengan amplitudo terus berkurang. Pada saat
yang sama massa yang awalnya diam mulai berosilasi dan secara bertahap
amplitudo osilasinya meningkat.
Akhirnya massa pertama sejenak berhenti berosilasi setelah mengalihkan seluruh
energi untuk massa kedua yang sekarang berosilasi dengan amplitudo awalnya
diberikan kepada massa pertama. Proses ini kemudian mengulangi dengan amplitudo
massa kedua terus menurun dan bahwa yang pertama terus meningkat. Siklus ini
berlanjut dengan energi berulang kali ditransfer antara dua massa. Perilaku ini
tampaknya aneh pada awalnya pandangan dan memang kadang-kadang digunakan oleh
conjurors untuk membingungkan penonton mereka; mereka mungkin menggunakan
kelapa sebagai massa pendulum! Namun, tidak ada yang misterius tentang pengamatan.
Apa yang kita amati adalah superposisi dari dua mode yang normal yang
dijelaskan di atas, seperti yang akan kita lihat.
2.2. Mode Normal dari Osilasi
Untuk memperoleh gambaran matematika osilasi ditambah
kita mulai lagi dengan sepasang pendulum sederhana tapi sekarang penggabungan disediakan oleh pegas horizontal cahaya yang
menghubungkan mereka, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.2. Pegas ini teregang panjang lebar ketika dua pendulum berada
di posisi keseimbangan mereka. Massa dan panjang setiap pendulum masing-masing m
dan l, dan konstanta pegas adalah k. Pemindahan dari dua massa dari posisi keseimbangannya masing-masing xa dan xb, dan
sekarang, berbeda dengan Bagian 4.1, kita mempertimbangkan osilasi di bidang
halaman.
Gambar 4.2 Dua pendulum sederhana digabungkan bersama-sama dengan pegas horisontal
cahaya konstanta pegas k. Perpindahan dari dua massa pendulum dari posisi
keseimbangan mereka xa dan xb, masing-masing, dan ini terletak pada bidang
halaman.
Kasus (i). Pertama kami
menggantikan setiap massa dalam arah yang sama dengan jumlah yang sama seperti
yang ditunjukkan pada Gambar 4.3 dan kemudian memlepaskan mereka. Karena pendulum memiliki periode yang
sama pegas mempertahankan panjang regangannya dan jadi tidak memainkan peranan dalam bergerak. Kedua pendulum
mungkin saja menjadi tidak berhubungan karena keduanya berosilasi pada
frekuensi bandul sederhana
. Kami kemudian dapat menulis perpindahan dari dua
massa, masing-masing, sebagai
(4.1)
Gambar 4.3 Mode normal pertama osilasi dari sistem ditambah di mana xa = xb.
Dimana A adalah perpindahan awal dan
ω1 =
. Sudut fase adalah nol karena massa mulai berhenti. Variasi xa dan xb dengan waktu
yang ditunjukkan pada Gambar 4.4. Massa berosilasi dalam fase dengan frekuensi
dan amplitudo yang sama. Ini adalah mode normal pertama osilasi.
Gambar 4.4 Osilasi dari dua massa dalam mode normal pertama. Osilasi ini memiliki
frekuensi dan amplitudo yang sama dan berada dalam fase satu
sama lain.
Kasus (ii). Kita sekarang
menggantikan setiap massa dengan jumlah yang sama tetapi dalam arah yang
berlawanan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.5, dan kemudian melepaskan
mereka. Sebagai dua pendulum ayunan bolak-balik pegas bergantian membentang dan
dikompresi dan ini diberikannya gaya pemulih
tambahan pada massa. Simetri pengaturan memberitahu kita bahwa gerakan massa
akan bayangan cermin satu sama lain, yaitu xa = -xb.
Persamaan resultan gerak massa kemudian
(4.2)
Gambar 4.5 Mode normal kedua osilasi dari
sistem ditambah di mana xa = -xb.
Istilah
pertama di sisi kanan dari persamaan ini adalah memulihkan kekuatan istilah
yang biasa untuk bandul sederhana dengan amplitudo osilasi kecil [lihat
Persamaan (1.31) dengan xa
l θa untuk θa kecil]. Istilah
kedua adalah gaya pemulih karena regangan pegas 2xa.
Karenanya
(4.3)
dimana
= (g / l + 2k / m). Gerakan pegas adalah untuk meningkatkan gaya pemulih yang bergerak pada masing-masing massa dan ini meningkatkan
frekuensi osilasi, yaitu ω2 > ω1.
Solusi dari
Persamaan (4.3) adalah
(4.4)
di mana B
adalah perpindahan awal. Lagi sudut fase adalah nol karena massa mulai dari
yang lain. Sejak xa = -xb,
xb = -B cos ω2t
(4.5)
Variasi xa dan xb
dengan waktu yang ditunjukkan pada Gambar 4.6. Massa berosilasi dengan
frekuensi dan amplitudo yang sama tapi sekarang mereka 1800 keluar dari fase. Kita bisa menulis xb
sebagai cos xb = B (ω2 t + π) untuk menekankan hubungan
fase ini. Ini adalah mode normal
kedua osilasi. Kita melihat bahwa dalam setiap mode normal:
Gambar 4.6 Osilasi dari dua massa dalam mode normal kedua. Osilasi ini memiliki
frekuensi dan amplitudo yang sama tetapi dalam anti-fase, yaitu yang 1800 keluar dari
fase satu sama lain.
·
Kedua massa berosilasi pada
frekuensi yang sama.
·
Setiap massa melakukan SHM dengan
amplitudo konstan.
·
Ada perbedaan fasa didefinisikan
dengan baik antara dua massa; baik nol atau π.
·
Setelah dimulai dalam mode normal
tertentu, sistem tetap dalam mode tersebut dan tidak berevolusi menjadi yang
lain.
Pentingnya
mode normal, sebagaimana yang kita lihat
adalah bahwa mereka sepenuhnya bebas dari yang lain.
2.3. Superposisi dari Mode Normal
Secara umum gerak osilator berpasangan akan jauh lebih rumit dari pada kasus (i) dan (ii)
di atas. Kasus-kasus yang khusus dalam gerakan itu terbatas pada mode normal tunggal,
yaitu baik xa = xb atau xa = -xb
setiap saat. Di umum ini tidak begitu. Kasus umum diilustrasikan pada Gambar
4.7 yang menunjukkan perpindahan dari dua massa dalam waktu singkat dan xa tidak sama dengan ± xb. Ini memberikan perpanjangan pegas (xa - xb) dan menghasilkan tegangan T = k (xa
- xb) pada pegas. Arah dari
gaya pegas yang bekerja pada massa seperti ditunjukkan oleh tanda panah pada pegas.
Gambar 4.7 Kasus umum superposisi
mode normal di mana xa
± xb.
Gaya pemulih pada
massa a adalah
Persamaan
resultan gerak yaitu:
(4.7)
Persamaan (4.6) dan (4.7) masing-masing mengandung xa
dan xb. Sehingga mereka tidak dapat diselesaikan secara terpisah
tetapi harus diselesaikan secara bersamaan. Kita bisa melakukan ini sebagai
berikut. Menambahkan mereka memberi
Hal ini membentur persamaan GHS dimana
variabel (xa + xb), selain itu frekuensi
osilasi
adalah frekuensi
mode normal pertama ω1. Mengurangkan Persamaan
(4.7) dari Persamaan (4.6) memberi
Ini lagi adalah persamaan dari GHS tapi sekarang dalam variabel (xa - xb). Selain itu, frekuensi
osilasi
adalah sama
dengan frekuensi mode normal
kedua ω2.
Kami memperkenalkan variabel baru q1 dan q2 dimana
(4.10)
(4.11)
(4.12)
Kami sekarang memiliki deskripsi lain dari mode
normal. Kami memiliki dua osilasi independen di mana setiap mode normal
diwakili oleh osilasi dari variabel tunggal: setiap Persamaan (4.11) dan (4.12)
melibatkan hanya satu koordinat, q1 atau q2, dan
menggambarkan GHS, dengan masing-masing frekuensi ω1 dan ω2.
Persamaan ini tidak melibatkan hasil kali q1q2 misalnya,: tidak ada pasangan antara dua
mode normal. Hal ini berbeda dengan Persamaan (4.6) dan (4.7) yang mengandung
kedua Posisi koordinat xa dan xb. Istilah pada persamaan
yang melibatkan (xa - xb) merupakan efek bahwa menghubungkan setiap massa melalui pegas. Mereka berpasangan
berosilasi dari dua massa: osilasi tidak independen. Solusi umum persamaan
(4.11) dan (4.12) masing-masing dapat ditulis:
(4.13)
seperti yang
kita tahu dari Bagian 1.2.4. amplitudo adalah C1 dan C2
dan sudut fase adalah φ1 dan φ2. Variabel q1
dan q2 dinamakan koordinat normal dan ω1 dan ω2 disebut frekuensi normal. Jika q1 = 0 maka xa = -xb
setiap saat, dan jika q2 = 0 maka xa = xb
setiap saat. Hal ini berguna untuk menggambarkan gerak ditambah dalam hal
koordinat normal karena persamaan yang dihasilkan dari gerak bergantung pada
satu variabel, baik q1 atau q2, sehingga mereka dapat dianggap
terpisah; perubahan q1 tidak
mempengaruhi q2 dan sebaliknya. Sebagai contoh, amplitudo dan
karenanya energi setiap mode normal tetap konstan; energi tidak pernah mengalir
antara satu mode normal dan lain seperti yang akan ditunjukkan segera.
Kita dapat
mengekspresikan perpindahan dari dua massa dalam hal koordinat normal.
Persamaan (4.10) mengarah ke
(4.14)
dan
(4.15)
Kita melihat
gerakan yang rumit dari osilator berpasangan (lihat
Bagian 4.1) dapat dipecah menjadi kombinasi dari dua osilasi harmonik
independen (mode normal). Variabel dari gerak
harmonik adalah koordinat normal. Persamaan (4.14) dan (4.15) menunjukkan bahwa
solusi dari persamaan (4.6) dan (4.7), yaitu setiap gerakan dari dua massa
dapat ditulis sebagai superposisi dari dua mode normal. Oleh karena itu hanya
ada dua mode normal untuk sistem kita. Keempat konstanta C1, C2, φ1
dan φ2 ditentukan oleh posisi awal dan kecepatan dari dua massa,
yaitu pada saat t = 0. Jika dua massa dilepaskan dari yang lain pada t = 0,
solusi yang tepat untuk q1 dan q2 , diperoleh dengan mengambil φ1
= φ2 = 0 dalam Persamaan (4.13), yakni
(4.16)
Independensi dua mode normal jelas menunjukkan jika
kita menuliskan turunan energi dari
sistem. Dalam hal posisi koordinat xa dan xb
energi yang diberikan oleh:
(4.17a)
Yang pertama, dua istilah ini mengungkapkan energi kinetik dari dua massa, istilah ketiga adalah seharusnya energi potensialnya menjadi gaya gravitasi dan istilah terakhir adalah energi yang
tersimpan dalam pegas. Disajikan
dalam hal koordinat yang normal q1 dan q2 (Persamaan
(4.10)) energi E menjadi:
(4.17b)
Persamaan
ini merupakan energi dari dua osilator harmonik sederhana yang independen dengan frekuensi ω1 =
dan ω2
=
. Setiap ekspresi dalam tanda kurung persegi di
persamaan ini hanya berisi satu dari koordinat normal dan merupakan energi dari
terisolasi osilator harmonik tunggal. Tidak ada 'istilah perkalian' melibatkan q1 dan q2, yang
akan menunjukkan pasangan antara mereka.
Hal ini berbeda dengan energi yang dinyatakan
dalam posisi koordinat xa dan xb (Persamaan (4.17a)) dimana
istilah terakhir, yang melibatkan (xa - xb),
merupakan penghubung antara dua massa.
Contoh Soal
Mempertimbangkan sistem dua pendulum sederhana identik
dihubungkan oleh pegas tipis horizontal. Menyimpulkan ekspresi untuk perpindahan dari
dua massa dalam hal mode normal dari sistem untuk kondisi awal menetapkan sebagai berikut, (pada t = 0). Dalam semua kasus massa dilepaskan dari yang lain.
(i) xa = A, xb = A, (ii) xa = A, xb = - A dan (iii) xa = A, xb = 0
Penyelasaian:
Kita memiliki xa =
(C1
cos ω1t + C2 cos ω2t) dan xb =
(C1
cos ω1t - C2 cos ω2t)
(i).
Mensubstitusi untuk xa = A, xb
= A pada t = 0
memberikan
Oleh karena itu C 1 = 2 A dan C2
= 0, memberikan x Sebuah = A cos ω1 t dan xb = A cos ω1
t. Kami mengakui ini sebagai mode normal pertama dengan semua gerakan dalam mode dengan
frekuensi ω1
(ii).
Mensubstitusi untuk xa = A, xb = - A pada t = 0
memberikan
Oleh karena itu C1 = A
dan C2 = A, memberikan sebuah =
(A cos ω1t
+ A cos ω2t) dan xb =
(A cos ω1t
- A cos ω2t)
Kami mengakui ini sebagai mode normal kedua dengan semua gerak dalam mode dengan
frekuensi ω2.
(iii).
Mensubstittusi untuk xa = A, xb
= 0 pada t = 0 memberikan
Oleh karena itu C1 = A
dan C2 = A, memberikan
Persamaan ini untuk xa dan xb mengkombinasikan jumlah persamaan dari dua mode normal. Kita dapat memvisualisasikan hasil ini dengan cara yang
berbeda dengan membentuk kembali solusi untuk xa dan xb seperti berikut.
Mengingat identitas trigonometri:
kita
memperoleh
Membiarkan (α - β) = ω 1 dan (α + β)
= ω 2 kita peroleh
Jadi
Memberi
Hasil ini
merupakan osilasi frekuensi tinggi pada rata-rata dari dua frekuensi normal
yang amplitudo dimodulasi oleh
frekuensi rendah jangka setengah
perbedaan frekuensi. Ini benar-benar sejalan dengan fenomena pemukulan yang
terjadi ketika dua gelombang suara sedikit kombinasi frekuensi
yang berbeda. Pukulan yang kita dengar
timbul dari istilah modulasi frekuensi rendah. Dalam cara yang sama kita temukan:
Yang mana kita dapat tulis seperti:
Sekali lagi kita memiliki osilasi frekuensi tinggi dimodulasi oleh istilah frekuensi rendah. Kita melihat, bagaimanapun, bahwa
kedua istilah kosinus dalam ekspresi untuk xb yang persis π/2 keluar
dari fase sehubungan dengan persyaratan yang sesuai untuk xa. Variasi dari xa dan xb dengan waktu diplot
pada Gambar 4.8. Hasil ini menjelaskan perilaku dari dua pendulum berpasangan dalam Bagian 4.1, dimana salah satu pendulum diberi
perpindahan awal dan yang lain pada posisi awal keseimbangannya. Titik penting
dalam semua contoh ini dengan
kondisi awal yang berbeda, adalah bahwa gerakan berikutnya selalu superposisi
dari mode normal.
Gambar 4.8 Osilasi dari pendulum berpasangan, terjadi ketika satu massa awalnya adalah (t = 0) di
xa = A dan yang lainnya di xb = 0.
2.4. Gerak Bolak-Balik
Massa Berpasangan oleh Pegas
Gambar 4.9
menunjukkan dua osilator massa-pegas tetapi independen dengan massa m dan
konstanta pegas k melekat pada dua dinding yang kaku. Dua osilator yang digabungkan bersama-sama oleh pegas ketiga juga dari konstanta pegas k seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 4.10. Pegas ketiga ini
memberikan pasangan sehingga
gerakan satu massa mempengaruhi gerakan yang lain. Sistem berpasangan ini memiliki dua mode normal dari osilasi. Kita akan menentukan
dua frekuensi pada sistem yang berosilasi,
yaitu frekuensi normal dan perpindahan relatif massa dalam dua mode normal.
Kita bisa memanfaatkan simetri sistem untuk tempat dua mode normal seperti yang
kita lakukan dalam Bagian 4.2 untuk pendulum berpasangan. Intuisi
fisik kita akan menunjukkan bahwa mode normal akan (i) kemana kedua massa bergerak ke arah yang sama dan (ii) kemana mereka bergerak dalam arah berlawanan. Kedua mode
ditunjukkan dengan tanda panah pada Gambar 4.10. Kita juga mungkin berharap mode yang (ii) akan memiliki peninggi frekuensi dari osilasi
karena ketiga pegas mengalami efek bukan hanya dua seperti
dalam mode (i). Daripada
melihat mode normal kita
mengadopsi pendekatan yang lebih umum di mana kita memanfaatkan karakteristik
mode normal, yaitu bahwa dalam mode normal semua massa berosilasi pada
frekuensi yang sama dan masing-masing massa melakukan GHS dengan amplitudo konstan. Demi kesederhanaan kita
akan mengasumsikan bahwa dua massa yang awalnya diam, yaitu
mereka memiliki kecepatan nol pada t =
0. Gambar 4.11 menunjukkan dua massa a
dan b pengungsi oleh nilai-nilai sewenang-wenang masing-masing xa dan xb, dari keseimbangan posisinya pada waktu yang singkat. Untuk
melihat lebih mudah arah dari gaya yang bekerja pada massa kita membiarkan xb
> xa. Pegas kiri
diperpanjang oleh xa, pegas tengah
ditarik oleh (xb - xa) dan pegas sebelah
kanan dikompresi oleh xb. Arah resultan gaya pada massa ditunjukkan oleh arah anak panah. Untuk mendapatkan persamaan gerak untuk setiap
massa kita perlu mempertimbangkan gaya yang
diberikan oleh pegas di kedua
sisi massa.
Gambar 4.10 Dua
osilator massa-pegas berpasangan
bersama-sama oleh ketiga pegas. Tanda
panah menunjukkan arah perpindahan dari dua massa didalam dua mode normal.
Gambar 4.11 Dua
osilator massa-pegas berpasangan
bersama-sama oleh ketiga pegas. Massa
berada berpindah
sewenang-wenang, masing-masing xa dan xb, dari posisi
keseimbangannya
Persamaan
resultan gerak yaitu:
(4.18)
dan
(4.19)
Kita melihat untuk solusi mode normal dari persamaan ini, di mana kedua
massa berosilasi pada frekuensi yang
sama ω, solusi dari bentuk xa = A cos ωt
dan xb = B cos ωt. Substitusi xa ini didalam Persamaan (4.18) menghasilkan:
memberi
(4.20)
Substitusi xb dalam persamaan
(4.19), menghasilkan:
memberi
(4.21)
Selama A dan
B keduanya bukan nol, sisi kanan Persamaan (4.21) dan
(4.22) harus sama, yaitu kita membutuhkan:
(4.22)
mengalikan
seluruhnya pada
(4.23)
Ini adalah persamaan kuadrat dalam ω2 yang dipandang
sekaligus untuk solusi
Ini adalah frekuensi
yang normal dari sistem yang berpasangan. Meletakkan
dalam persamaan
(4.20) memberikan A = B. Ini
adalah mode normal pertama di mana dua massa bergerak ke arah yang sama karena
masing-masing berbeda dan dengan amplitudo yang sama. Kemudian
(4.24)
di mana
Meletakkan ω2
= 3k/m dalam persamaan (4.20) memberikan A = - B. Ini adalah mode normal
kedua di mana tanda minus memberitahu kita bahwa massa bergerak pada arah
berlawanan. Jadi
(4.25)
Dimana
Semua hasil ini
sesuai dengan intuisi fisik kita. Karena kebanyakan osilator berpasangan tidak memiliki simetri yang memungkinkan kita
untuk tempat mode normal, pendekatan
yang dijelaskan di sini adalah sifat-sifat dasar secara
normal. Seperti pada umumnya gerak akan
menjadi superposisi dari dua mode normal, yaitu
dan
Jika massa
tidak memiliki kecepatan nol pada t =
0, kita perlu untuk memasukkan sudut fase seperti pada
persamaan (4.14) dan (4.15).
Contoh Soal
Gambar 4.12
menunjukkan dua massa yang sama dari massa m digantungkan pada dua pegas identik dari konstanta pegas k. Tentukan frekuensi
normal dari sistem ini
Gambar 4.12 Dua massa yang sama sedang diskors
dari dua pegas yang
identik dengan konstanta pegas k.
Perpindahan dari dua massa dari posisi keseimbangannya masing-masing
xa dan xb, diukur dalam arah ke bawah. untuk osilasi
vertikal dan rasio amplitudo osilasi dari massa pada frekuensi tersebut.
Penyelesaian
Misalkan xa dan xb berubah-ubah pemindahan massa dari masing-masing posisi keseimbangan
dan misalkan xb lebih besar dari xa. Kemudian sambung pegas dari atas
dan bawah masing-masing xa dan (xb - xa), dan arah
dari gaya yang bekerja pada dua massa seperti ditunjukkan oleh anak panah. Persamaan
resultan gerak yaitu:
dan
Kali ini kita mencoba solusi yang kompleks dari bentuk, xa = Ae iωt dan xb = Be iωt. Substitusi xa
dan xb kedalam persamaan gerak dan membagi melalui oleh eiωt
menyebabkan
(4.26a)
dan
(4.26b)
Persamaan
(4.26) mengarah ke persamaan kuadrat (mω2)2 - 3 kmω2
+ k2 = 0, yang memiliki solusi ω2
= (k/2m) (3
±
), memberikan dua frekuensi normal. Menggantikan ω2
= (k /2m) (3
-
) dalam
Persamaan (4.26a) memberikan A/B = 1/2 (
-1), sementara substitusi untuk ω2 = (k /2m) (3 +
) memberikan A/ B = -1/2 (
+ 1) di mana
tanda minus menunjukkan bahwa massa bergerak di arah berlawanan, yaitu
anti-fase.
Sebuah cara
yang ampuh untuk menangani persamaan simultan yang muncul untuk osilator berpasangan adalah dengan menggunakan representasi matriks. Ini bekerja seperti contoh di atas sebagai
berikut. Persamaan (4.26) masing-masing dapat ditulis, sebagai
(4.27a)
dan
(4.27b)
Dalam
matriks ini membentuk persamaan
menjadi
(4.28)
Ini adalah persamaan nilai eigen. Solusi dari persamaan ini untuk
ω2 disebut nilai eigen. Kolom
vektor dengan komponen A dan B adalah vektor eigen dari matriks. Kita bisa
menulis ulang Persamaan (4.28) dalam bentuk berikut
(4.29)
Persamaan
ini memiliki solusi bukan-nol
jika dan hanya jika determinan hilang, yaitu jika
memberikan m2ω4
- 3 kmω2+ k2 = 0 dan
solusi ω2 = (k/2m) (3 ±
) seperti
sebelumnya. Substitusi untuk solusi ini
di Persamaan (4.28) menghasilkan dua nilai dari A/B. Kekuatan dari pendekatan
ini adalah tidak jelas untuk kasus dua osilator berpasangan tapi dengan
cepat menjadi jelas ketika lebih dari dua yang terlibat. Pada bagian ini kita
telah membahas contoh dua massa dihubungkan oleh pegas dimana
massa berosilasi didalam satu
dimensi, yaitu sepanjang sumbu x. Kita
menemukan bahwa sistem ini memiliki dua mode normal osilasi dan bahwa setiap
mode memiliki sebuah asosiasi yang normal berkoordinasi q dan frekuensi sudut
yang normal ω. Hasil ini dapat digeneralisasi untuk massa N dihubungkan oleh pegas dan
bergerak di tiga dimensi. Adapun kasus dari dua massa
yang massa N tidak bergerak dengan bebas. Ketika
salah satu massa diatur berosilasi, massa
lainnya akan terganggu dan akan mulai berosilasi.
Untuk N massa berpasangan ada 3 N mode normal osilasi di
mana faktor dari 3 sesuai dengan tiga arah tegak
lurus bersama yang masing-masing massa dapat berpindah. Sekali
lagi setiap mode normal memiliki koordinat yang normal dan
frekuensi normal, sehingga kita memiliki koordinat yang normal q1, q2,
..., q3N dengan frekuensi yang normal sesuai
ω1, ω2, ..., ω3N. Untuk setiap mode normal kita memiliki SHM independen dalam koordinat q dengan
frekuensi ω. Sebuah contoh yang baik ini disediakan oleh sebuah kisi kristal. Dalam Bagian 1.2.6 kita menggambarkan
bagaimana atom dalam kristal dapat dimodelkan sebagai osilator harmonik
sederhana dan bagaimana Einstein menggunakan model ini untuk menjelaskan
variasi dari panas spesifik kristal dengan temperatur. Walaupun model Einstein
telah sukses besar dalam menjelaskan utama
fitur perilaku ini, model adalah penyederhanaan besar dan memiliki keterbatasan. Hal ini karena mengasumsikan bahwa atom
bergetar benar-benar independen dari satu sama lain tentang situs kisi tetap.
Pada kenyataannya, bukan karena atom
digabungkan bersama-sama. Sebuah analog mekanik makroskopik dari kisi kristal
akan terdiri dari bola bilyar terhubung bersama-sama dengan pegas yang identik. Gambar 4.13 ini menunjukkan gambar dua
dimensi. Jika satu bola diatur bergetar, mengatakan sebuah berlabel pada Gambar 4.13, gangguan akan
menyebarkan ke seluruh sistem sampai semua bola bergetar.
Demikian pula, atom dalam sebuah kristal yang berpasangan daripada osilator independen. Teori Einstein dapat
ditingkatkan dengan menggambarkan N atom dalam kristal segi 3 N mode normal dari getaran seluruh kristal, dengan karakteristik frekuensi sudut sendiri masing-masing ω1, ω2, ..., ω3N
. Dalam istilah mode normal ini, getaran
kisi setara dengan 3 N osilator
harmonik independen dengan frekuensi sudut (lihat juga Mandl, 2 Bagian 6.3)
Gambar 4.13 Dua-dimensi analog dari sebuah kisi
kristal, yang terdiri dari bola bilyar yang dihubungkan oleh pegas.
Penggabungan juga bisa terjadi pada osilasi sirkuit listrik (lihat Gambar 1.21). Sebuah
versi listrik dari osilator berpasangan ditunjukkan
pada Gambar 4.14. Sebuah kebersamaan (membagi bersama) pasangan induktor
M bersama-sama dua rangkaian listrik dimana fluks magnetic yang timbul dari arus dalam satu rangkaian benang
sirkuit kedua. Setiap perubahan fluks menginduksi tegangan di kedua sirkuit.
Sebuah transformator, yang digunakan untuk mengubuah amplitudo
tegangan AC, tergantung pada induktansi untuk operasinya.
Gambar 4.14 Contoh dari osilator
listrik berpasangan, di mana penggabungan disajikan bersama oleh
induktansi M.
2.5. Osilasi Teredam dari Osilator Berpasangan
Untuk kasus
dua osilator berpasangan bersama-sama kita dapat
mengharapkan perilaku serupa. Sekarang,
bagaimanapun, ada dua frekuensi alami yang sesuai dengan dua frekuensi normal. Dengan demikian kita dapat berharap bahwa sistem
akan menunjukkan besar osilasi amplitudo ketika frekuensi mengemudi dekat
dengan salah satu dari dua frekuensi normal. Ini
memang terjadi. Kita dapat menjelajahi osilasi paksa dengan mempertimbangkan
susunan dua massa yang dihubungkan oleh pegas seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.15. Ini
mirip dengan susunan yang ditunjukkan pada Gambar 4.10 tapi sekarang akhir s
salah satu pegas luar dipindahkan harmonis sebagai ξ
= a cos ωt. Perpindahan ξ, xa dan xb
massa dari kesetimbangan ditunjukkan pada Gambar 4.15 pada waktu tertentu.
Gambar 4.15 Osilasi teredam dari
osilator berpasangan. Akhir
s dari pegas yang dipindahkan
harmonis sebagai ξ = a cos ωt
Persamaan
yang dihasilkan dari gerak untuk massa a adalah
(4.30)
Memberi
(4.31)
dimana F0
= ka. Demikian pula, persamaan gerak
untuk massa b adalah
(4.32)
Kita dapat menyelesaikan dua persamaan simultan
masing-masing menambah dan menguranginya. Jadi
(4.33)
dan
(4.34)
Kita sekarang mengubah variabel kedalam koordinat
normal
(4.35)
Memberikan
(4.36)
dan
(4.37)
Ini adalah hasil yang menarik dan mengilustrasikan kekuatan dan kesederhanaan dari penggambaran gerak berpasangan dalam hal dari koordinat normal. Untuk setiap koordinat independen q1
dan q2 kita memiliki persamaan untuk osilasi paksa dari osilator harmonik sederhana,
yaitu persamaan dari bentuk yang sama seperti Persamaan (3.1) di bagian 3.2.1, dan kita dapat sekaligus mengambil alih
solusi Persamaan (3.5a) dan (3.7a), dari bagian tersebut. Kita bisa menggambarkan
solusi keadaan tetap oleh
persamaan q1 = C1 cos ωt dan q2 = C2 cos ωt, dimana
(4.38)
(4.39)
dan di mana
= k/m dan
= 3 k/m. Nilai
maksimum C1 dan C2 diberikan oleh persamaan ini yang jauh besar ketika masing-masing
ω = ω1 dan ω = ω2, sehingga osilasi amplitudo akan
menjadi terbatas jika sistem didorong pada satu frekuensi normal. Dapat kita simpulkan bahwa osilator berpasangan akan
berosilasi dengan amplitudo besar ketika didorong pada frekuensi
normalnya. Pada frekuensi mengemudi lainnya massa akan
berosilasi pada frekuensi mengemudi tetapi dengan amplitudo yang jauh lebih
kecil. Dari Persamaan (4.35) kita memiliki
dan
Mengikutinya dari Persamaan (4.38) dan (4.39) bahwa ketika
frekuensi mengemudi ω adalah dekat frekuensi normal pertama ω1 =
, kita memiliki |C1| » |C2|, dan xa ≈ xb, yaitu dua
massa berosilasi dalam fase. Ketika frekuensi mengemudi ω adalah dekat frekuensi normal kedua ω2 =
, satu sama diperoleh xa
≈ - xb , yaitu dua massa
berosilasi didalam anti-fase.
Karena sebuah sistem berpasangan berosilasi
dengan amplitudo besar ketika didorong pada salah satu frekuensi normalnya ini menyediakan sebuah cara untuk menentukan
frekuensi ini secara eksperimen. Sebuah contoh yang baik disajikan oleh getaran dari molekul yang mengandung lebih dari dua atom. Sebagai
contoh, molekul karbon dioksida (CO2) dapat di
modelkan oleh tiga massa yang dihubungkan oleh dua pegas dalam
konfigurasi linier. Pusat massa
merupakan atom karbon dan dua massa lainnya mewakili atom oksigen sedangkan pegas merupakan obligasi molekul. Sistem ini memiliki dua
mode normal dari getaran untuk perpindahan
sepanjang garis yang menghubungkan
massa. Ini masing-masing disebut mode peregangan
simetris dan mode peregangan asimetris
seperti yang diilustrasikan pada Gambar 4.16 (a) dan (b). Pada mode peregangan
simetris pusat massa tetap dalam posisi sementara
dua massa luar bergetar menentangnya. Dalam mode peregangan
asimetris dua massa luar bergerak ke arah yang sama dan terpisah menjaga jarak
yang sama. Namun, karena tidak ada gerak bertranslasi,
massa pusat bergerak ke arah yang
berlawanan untuk menjaga posisi pusat
massa stasioner. Frekuensi yang normal dari getaran molekul ditentukan secara
eksperimental oleh spektroskopi penyerapan. Dalam teknik ini, radiasi dari frekuensi merdu
dilewatkan melalui sel yang berisi molekul yang menarik. Osilasi medan listrik
dari radiasi yang berinteraksi dengan molekul yang
berperilaku seperti osilator didorong. Intensitas dari radiasi setelah melewati sel, diukur sebagai fungsi
dari frekuensinya. Hal ini memberikan spektrum
penyerapan dari molekul. Ketika frekuensi dari radiasi
cocok dengan frekuensi normal, radiasi yang kuat
diserap oleh molekul. Frekuensi di mana penyerapan ini terjadi memberikan
langsung frekuensi mode normal molekul. Nilai yang diukur dari frekuensi ν
untuk peregangan simetris dan mode peregangan asimetris dari molekul CO2 masing-masing
4,0 × 1013 s-1 dan 7,0 × 1013 s-1. Molekul CO2 juga memiliki mode lentur dari getaran seperti yang diilustrasikan pada Gambar 4.16
(c). Frekuensi dari mode ini
adalah 2,0 × 1013 s-1 . Gerakan lentur
ini dapat terjadi dalam dua bidang ortogonal dan karena ini memiliki frekuensi
yang sama dari getarannya dikatakan memburuk pada frekuensi. Frekuensi ini terletak pada wilayah inframerah jauh dari spektrum elektromagnetik,
dengan panjang gelombang ~10 µm.
Gambar 4.16 Sebuah
model dari mode normal dari getaran
molekul CO2: (a) mode peregangan
simetris; (b) mode peregangan
asimetris; dan (c) mode lentur.
Getaran molekul
CO2 dan beberapa molekul lain di atmosfer bumi memainkan sebuah peran kunci dalam pemanasan global karena mereka sangat kuat menyerap radiasi inframerah yang jauh. Suhu permukaan Matahari 5800 K dan radiasi yang
dipancarkan oleh permukaan matahari sekitar 500
nm. Namun, permukaan bumi berada pada suhu jauh lebih rendah, ~300 K, dan
radiasi permukaannya ~10 µm. Atmosfer bumi sebagian
besar dilewati dekat Radiasi matahari dan terlihat transparan pada panjang gelombang inframerah.
Namun, pemanasan global menyerap molekul bumi radiasi
inframerah jauh dan bertindak untuk menjebak energinya. Efek ini mengarah untuk peningkatan
suhu pada permukaan bumi.
2.6. Osilasi Melintang
Dalam pembahasan kita osilasi dari massa berpasangan oleh pegas berpindah secara periodik
dari massa berlangsung sepanjang garis yang menghubungkannya. Ini disebut osilasi longitudinal. Hal ini
juga memungkinkan perpindahan secara periodik dalam
arah tegak lurus ke garis ini.
Sementara itu kita menganggap
bahwa osilasi melintang dari massa tunggal m dihubungkan
oleh dua pegas seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 4.17. Ini memiliki konstanta pegas k, dan panjang l dari setiap pegas lebih besar
dari panjang teregang sehingga ada tegangan T pada pegas. Massa
dipindahkan dalam arah melintang oleh jarak y, dimana perpindahan ke atas diambil sebagai positif.
Kita pertama mencatat bahwa
untuk perpindahan kecil tegangan pada pegas tetap
konstan, dapat kita lihat sebagai
berikut. Untuk perpindahan y, setiap pegas akan bertambah panjang sebesar
l yang diberikan oleh
Gambar 4.17 Perpindahan
transversal dari massa tunggal berpasangan m oleh dua pegas dari konstanta pegas k.
dimana θ = arctan (y/l). Untuk sudut kecil, cos θ ≃ (1 - θ2 )1/2 , dan
l ≃ lθ2/
2. Jika θ kecil maka θ2
sangat kecil dan juga istilah dalam θ2 dapat diabaikan. Kemudian
untuk aproksimasi regangan pegas sangatlah
kecil dan tegangan pada pegas T dapat dianggap konstan. Namun, pegas menggunakan sebuah gaya pemulih berlaku pada massa yang sama menjadi 2T sin θ.
Persamaan resultan gerak adalah
(4.40)
untuk θ kecil, memberi pendekatan yang baik:
(4.41)
Ini adalah persamaan GHS dengan
frekuensi
. Sistem memiliki satu mode normal dari getaran.
Kita sekarang memperluas pembahasan kita untuk sebuah osilator berpasangan terdiri
dari dua massa sama dihubungkan oleh tiga pegas yang identik dengan panjang l dan dengan tegangan T,
seperti ditunjukkan pada Gambar 4.18. Massa dipindahkan dalam arah melintang oleh jarak masing-masing ya
dan yb. Arah dari gaya
yang bekerja pada massa ditunjukkan oleh anak panah dan
persamaan resultan gerak untuk dua massa yang diturunkan sebagai berikut. Untuk
massa a, kita memiliki
(4.42)
Gambar 4.18 Perpindahan
transversal dari dua massa yang dihubungkan oleh pegas.
memberi, untuk perpindahan kecil:
(4.43)
Demikian pula, untuk massa b kita memiliki:
Memberi
(4.44)
Mensubstitusi ya = Aeiωt dan yb = Be iωt kedalam Persamaan (4.43) dan (4.44) dan membagi melalui
eiωt sehingga:
(4.45)
dan
(4.46)
Persamaan (4.45) dan (4.46) memberikan dua ekspresi
untuk A/B, dan persamaan kuadrat dalam ω2.
(4.47)
dengan solusi ω2 = T/ml dan 3T/ml. Mensubtitusi ω2 = T/ml dalam Persamaan (4.45) memberikan A = B. Ini sesuai dengan mode normal pertama
dari sistem dimana kedua massa bergerak dalam arah yang sama dengan satu sama
lain seperti yang diilustrasikan pada Gambar 4.19 (a) dan masing-masing melakukan SHM pada
frekuensi yang normal ω1 =
. Mensubstitusi ω2
= 3T/ml dalam Persamaan (4.45)
memberikan A = -B. Hal ini terkait mode normal kedua dari sistem di
mana dua massa bergerak di berlawanan arah satu sama lain seperti yang
diilustrasikan pada Gambar 4.19 (b) dan masing-masing melakukan SHM di
frekuensi yang normal ω2 =
.
Gambar 4.19 Dua mode
normal untuk osilasi melintang dari dua massa yang dihubungkan oleh pegas di mana (a)
massa bergerak dalam arah yang sama dengan satu sama lain dan (b) mereka
bergerak berlawanan arah.
Kita melihat bahwa
frekuensi dari osilasi tergantung pada mode normal
tertentu. Dia
juga sebanding dengan akar kuadrat dari tegangan T dan berbanding
terbalik dengan akar kuadrat dari massa m. Mode normal yang
ditunjukkan pada Gambar 4.19 sudah mulai menyerupai gelombang berdiri pada sebuah tali tegang. Kesamaan ini bahkan lebih mencolok ketika kita memiliki nomor N lebih besar dari massa. Untuk menekankan kesamaan ini
kita lihat Gambar 4.20 pengaturan sembilan massa dihubungkan dengan tali elastis dengan panjang yang sama l. Gambar ini
menunjukkan tiga skematis yang mungkin dari mode osilasi
dari pengaturan ini. Tanpa mengejar rincian dari
matematika, kita mencatat bahwa di setiap mode
normal semua massa individu berosilasi di SHM pada frekuensi yang sama, sama
dengan frekuensi normal. Bagaimanapun,
osilasi amplitudo akan bervariasi
dari massa ke massa seperti ditunjukkan oleh Gambar 4.20. Jumlah mode normal
adalah sama dengan jumlah massa dan mungkin mode normal tertinggi akan terjadi
ketika massa alternatif bergerak berlawanan arah, seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 4.20 (c). Hal ini memberikan batas atas untuk frekuensi normal tertinggi
yang mungkin. Jika kita secara bersamaan mengambil batas N → ∞, m → 0 dan l → 0, sedemikian rupa sehingga Nm tetap terbatas, kita memang
mendapatkan situasi gelombang berdiri pada tali tegang. Jadi kita melihat bahwa
osilator berpasangan adalah
jembatan antara getaran dan gelombang. Pembahasan kita
tentang osilator berpasangan juga telah
melihat penampilan berulang GHS lagi dan
lagi, dan ini lanjut menekankan pentingnya dan keragaman bentuk dari gerak.
Gambar 4.20 Beberapa
mode normal osilasi melintang selama sembilan massa dihubungkan oleh tali elastis: (a)
mode normal
pertama; (b) mode normal
kedua; dan (c) mode normal tertinggi.
SOAL 4
1.
Dua pendulum sederhana, dengan
panjang dan massa masing-masing
0,300 m dan 0,950 kg,
digabungkan dengan melampirkan cahaya, pegas horizontal dari konstanta pegas k
= 1,50 N m-1 kepada massa. (a) Tentukan
frekuensi dari dua mode normal. (b) Salah satu pendulum adalah diadakan pada
jarak kecil dari posisi kesetimbangan sementara pendulum lain diadakan di
posisi keseimbangannya. Kedua pendulum kemudian dirilis secara bersamaan. Menunjukkan
bahwa setelah waktu sekitar 12 s, osilasi amplitudo dari pendulum yang
pertama akan menjadi sama dengan nol sejenak. (Asumsikan g = 9,81 ms-2 .)
2.
Dua pendulum sederhana, dengan
panjang dan massa masing-masing
0,50 m dan 5,0 kg,
digabungkan dengan melampirkan cahaya, pegas horizontal dari konstanta pegas k
= 20 N m-1 kepada massa. (a) Salah satu massa diadakan pada perpindahan horizontal xa = +5,0 mm sedangkan massa lainnya diadakan pada perpindahan horizontal xb = +5,0 mm. Dua
massa yang kemudian dibebaskan dari sisa bersamaan. Menggunakan ekspresi
di mana ω1 dan ω2
adalah frekuensi normal, tentukan
nilai-nilai dari C1 dan C2 .
Plot xa dan xb sebagai fungsi waktu t selama interval
waktu t = 0 sampai 10 s. (b) Ulangi bagian (a) untuk kondisi awal: (i) xa
= +5,0 mm, xb
= -5,0 mm, (ii) xa = +10 mm, xb
= 0 mm dan (iii) xa= +10 mm, xb
= +5,0 mm.
(Asumsikan g = 9,81 ms-2
)
3.
Perhatikan contoh dua massa yang
identik dihubungkan oleh tiga pegas identik seperti ditunjukkan pada Gambar 4.11. Gabungkan persamaan gerak dari kedua massa untuk
mendapatkan sepasang persamaan dalam bentuk:
dan karenanya mendapatkan koordinat normal q1 dan q2 dan frekuensi normal masing-masing ω1 dan ω2.
4.
Dua pendulum identik massa yang sama
m dihubungkan oleh pegas cahaya. Perpindahan
dari dua massa yang diberikan oleh
masing-masing,
Asumsikan bahwa pegas cukup lemah sehingga energi potensialnya dapat
diabaikan dan bahwa energi setiap pendulum dapat dianggap konstan selama siklus
osilasi nya. (a) Tunjukkan bahwa energi dari dua massa
dan
dan bahwa energi total sistem tetap
konstan. (b) Sketsakan Ea
dan Eb melebihi beberapa siklus pada grafik yang sama. Apakah ada frekuensi pada pertukaran energi total antara dua massa?
5.
Dua massa identik massa m
ditangguhkan dari dukungan kaku oleh dua pegas panjang l dan berosilasi dalam bidang
vertikal seperti yang diilustrasikan oleh
gambar.
Osilasi adalah bahwa setiap
perubahan amplitudo cukup kecil dalam tegangan dari dua tali dari nilai-nilainya ketika
sistem dalam keseimbangan statis dapat diabaikan. Dalam penambahan aproksimasi sudut-kecil sin q ≃ q dapat dibuat.
a)
Tunjukkan bahwa persamaan gerakan
massa atas dan bawah, masing-masing adalah
dan
b) Dengan
asumsi solusi dari bentuk x1 = A cos ωt dan x2 = B cos
ωt, menunjukkan bahwa kedua frekuensi normal dari sistem adalah
dan menemukan
rasio yang sesuai, B/A. (c) Tentukan periode dua mode normal untuk l = 1.0 m dan membandingkan ini dengan panjang
dari periode bandul sederhana. (Asumsikan g = 9,81 ms-2)
6.
Gambar dibawah ini
menunjukkan dua massa identik dari massa m
terhubung dengan massa ketiga dari
massa M oleh dua pegas identik dari konstanta
pegas k. Pertimbangkan getaran dari
massa sepanjang garis yang menghubungkan pusat-pusanya dimana masing-masing x1, x2 dan x3 adalah perpindahan
mereka dari keseimbangan.
a)
Tanpa ada rincian matematika, gunakan
intuisi fisik Anda untuk
menyimpulkan frekuensi normal untuk getaran simetris-peregangan.
b)
Tunjukkan bahwa persamaan gerak dari
tiga massa adalah:
dan
di mana
= k/m dan
= k/M. (c)
Tunjukkan bahwa frekuensi normal dari sistem adalah
dan
. (d) Tentukan rasio frekuensi normal untuk m/M
= 16/12 dan bandingkan dengan frekuensi getaran dari molekul CO2 diberikan
dalam teks.
7.
Gambar ini menunjukkan
dua massa dari massa 3m dan m tergantung pada pegas dari konstanta pegas masing-masing 4k dan k.
(a) Tunjukkan
bahwa frekuensi normal osilasi adalah
dan
.
(b) Jelaskan dua
mode normal.
8.
Lima massa identik dihubungkan oleh
enam pegas identik antara dua dinding yang kaku, seperti yang
diilustrasikan pada gambar, dan bergerak tanpa gesekan pada permukaan
horizontal. Bagaimana banyak mode normal dari getaran dalam arah melintang yang dilakukan sistem? Sketsa mode ini biasa mengingat bahwa posisi
melintang dari massa melewati kurva sinusoidal (lihat Gambar 4.20)
9.
Gambar ini menunjukkan dua massa M dan m tergantung dari
langit-langit yang kaku oleh pegas dari
konstanta pegas k1 dan k2.
(a) Jika massa M
dikenai gaya F0 cos ωt dalam arah ke bawah, menunjukkan
bahwa persamaan gerak dari massa adalah
dan
dimana x1 dan x2
adalah perpindahan massa masing-masing
M dan m, dari posisi keseimbangan mereka.
(b) Asumsi solusi dari bentuk x1 = A cos ωt dan
x2 = B cos ωt menunjukkan bahwa
dan
(c) Untuk ω =
menunjukkan
bahwa amplitudo getaran dari massa M akan menjadi nol jika k2/k1
= m/M.
10.
Tiga massa identik massa m
dihubungkan dengan empat pegas identik dari konstanta pegas k antara
dua dinding yang kaku, seperti yang ditunjukkan pada gambar, dan bergerak tanpa
gesekan pada permukaan horizontal. Mereka bergetar sepanjang garis yang
menghubungkan pusat-pusat mereka.
(a)
Tunjukkan bahwa frekuensi normal
dari sistem adalah
dan
. (b) Jelaskan tiga mode normal dari getaran.
[Gambaran:
Determinan]
DAFTAR PUSTAKA
King, George C. 2009. Vibrations and Waves.
Antony Rowe Ltd, Chippenham, Wiltshire.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar